Derivación e integración (Matemáticas II)

Por (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ se obtiene (x³)′=3x². La opción x² olvida bajar el exponente al frente, 3x³ olvida reducir el grado, y 2x lo confunde con (x²)′.

Al derivar término a término se obtiene 6x−4+0=6x−4, y el término independiente 5 desaparece. La opción 6x+4 es un error de signo, 6x olvida derivar −4x, y 3x−4 trata mal el coeficiente de 3x².

Al sustituir x=2 en f′(x)=2x−3 se obtiene 4−3=1. La opción −2 calcula f(2), al olvidar derivar, 4 conserva solo el término 2x, y 7 tiene el error de signo 2x+3.

f′(a) es el límite cuando h→0 de la tasa de variación media (f(a+h)−f(a))/h, y representa la pendiente de la tangente a la gráfica en x=a. No la confunda con el valor de la función f(a) ni con una tasa de variación media en sí.

De y′=2x, la pendiente es f′(1)=2. Al reordenar y−1=2(x−1) se obtiene y=2x−1. La opción y=2x+1 es un error de signo, y=2x olvida calcular la ordenada al origen, e y=x no usa la derivada para la pendiente. Compruebe que pasa por y=1 en x=1.

Al sustituir x=0 en y′=3x²−3 se obtiene la pendiente −3. De y−2=−3(x−0) se obtiene y=−3x+2. La opción 3x+2 es un error de signo, −3x ignora el punto por el que debe pasar la recta, e y=2 toma erróneamente la pendiente como cero.

De f′(x)=2x+a se obtiene f′(2)=4+a=5, así que a=1. La opción a=0 interpreta mal la condición como f(2)=5, un valor de la función, a=3 usa en cambio f′(1)=5, y a=5 olvida restar 4.

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4. La opción 2 es f′(1) y 6 es f′(3), al confundirla con una derivada, mientras que 8 da la diferencia f(3)−f(1) sin dividir entre la amplitud del intervalo.

Si se escribe el punto de tangencia como (t, t²), la tangente es y=2tx−t². Exigir que pase por (1, −3) da −3=2t−t², es decir, t²−2t−3=0 y (t−3)(t+1)=0, así que t=3 o −1. La pendiente es 2t, lo que da 6 y −2. El par 3 y −1 da las coordenadas x de los puntos de tangencia, y 2 solo calcula y′(1).

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1). Según la tabla de variación, el máximo local se da en x=−1 con valor (−1)³−3×(−1)=2. La opción −2 es el mínimo local en x=1, y −1 confunde la coordenada x con el valor.

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1). En x=1 el valor mínimo local es 2−6=−4, y en x=−1 el valor máximo local es 4. La opción 4 confunde el máximo con el mínimo, y 1 o −1 dan coordenadas x en su lugar.

y′=3x²−6x=3x(x−2). Se tiene y′>0 para x<0 y para 2<x, y allí la función crece. El intervalo 0<x<2 es donde y′<0 y la función decrece, y responder con él es la inversión clásica.

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1). En x=−3 el valor máximo local es −27+27+27+1=28, y en x=1 el valor mínimo local es −4. La opción −4 confunde el mínimo con el máximo, −3 es la coordenada x del máximo, y 1 solo mira el término independiente.

De y′=3x(x−2), el mínimo local está en x=2, y 8−12+a=0 da a=4. La opción a=−4 sale de un error de signo en a−4=0, a=0 plantea la ecuación en el máximo x=0, y a=2 lo confunde con una coordenada x.

Los candidatos son los valores en los extremos del intervalo y los extremos relativos: f(0)=0, f(1)=−2 en el mínimo local, y f(3)=27−9=18. El máximo es el valor en el extremo del intervalo, 18. La opción 2 da el máximo local en x=−1, fuera del intervalo, y −2 es el mínimo. Compare siempre los valores en los extremos del intervalo.

f′=3x(x−2). Los candidatos son f(0)=5, f(2)=8−12+5=1 en el mínimo local, y f(3)=27−27+5=5. El mínimo es 1, en x=2. La opción 5 es el máximo, 2 es la coordenada x donde se da el mínimo, y −4 es el mínimo local de x³−3x² olvidando la constante +5.

Se necesita que f′=3x²+2ax+3 tenga dos raíces reales distintas, así que la condición del discriminante D/4=a²−9>0 da a<−3 o 3<a. Incluir la igualdad daría una raíz doble, donde el signo no cambia y no hay extremo relativo, así que es incorrecto. El intervalo −3<a<3 invierte la desigualdad.

De f′=3x²−3a=0 se obtiene x=±√a, y x=√a da el mínimo local. De f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 se obtiene a√a=8, es decir, a^(3/2)=8 y, por lo tanto, a=4. Comprobación: si a=4, entonces f(x)=x³−12x y el mínimo local en x=2 es 8−24=−16. Con a=2 se obtendría −2×2√2≒−5.7, que no coincide.

De x(x²−3)=0 se obtiene x=0 y ±√3, tres en total. En una cúbica que se puede factorizar, saque primero el factor común x. Pasar por alto las dos raíces de x²−3=0 lleva a la respuesta incorrecta de una.

Para f(x)=x³−3x+1, el máximo local es f(−1)=3>0 y el mínimo local es f(1)=−1<0. Como los extremos relativos tienen signos opuestos, la gráfica corta el eje x en tres puntos, así que hay 3 raíces reales. Aunque la cúbica no se pueda factorizar, los signos de los extremos relativos dan el número de raíces.

Al factorizar se obtiene (x+1)(x−2)²=0, así que x=−1 y 2, dos en total. El valor mínimo local f(2)=8−12+4=0 significa que la gráfica toca el eje x en x=2. La respuesta 3 cuenta dos veces la raíz doble x=2.

La curva y=x³−3x tiene valor máximo local 2 en x=−1 y valor mínimo local −2 en x=1. La recta horizontal y=a la corta en tres puntos exactamente cuando −2<a<2. Incluir las igualdades es incorrecto, porque en un extremo aparece una raíz doble y el número baja a dos, y a=±2 es precisamente ese caso de dos raíces.

Separe como a=x³−3x². Para g(x)=x³−3x², el máximo local es g(0)=0 y el mínimo local es g(2)=−4, y a debe estar entre ellos, así que −4<a<0. El intervalo 0<a<4 tiene el signo equivocado, e incluir las igualdades da una raíz doble y solo dos soluciones.

Como y′=3x²≧0, la función siempre crece y, aunque y′=0 en x=0, el signo no cambia allí, así que no hay extremo relativo. Como (−x)³=−x³, la gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, la función es impar. La simetría respecto al eje y corresponde a funciones pares como y=x².

Para f(x)=2x³−3x²−12x+k se tiene f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2). El máximo local es f(−1)=7+k y el mínimo local es f(2)=−20+k. Tres raíces requieren que el máximo local sea positivo y el mínimo local negativo, así que 7+k>0 y k−20<0, lo que da −7<k<20. El intervalo −20<k<7 intercambia el máximo y el mínimo, e incluir las igualdades da una raíz doble y solo dos soluciones.

Para f(x)=x³−3x+1 se tiene f(0)=1>0, f(1)=−1<0 y f(2)=3>0, así que hay una raíz positiva en el intervalo de 0 a 1 y otra entre 1 y 2, 2 en total. La raíz restante es negativa, ya que f(−2)=−1<0 y f(−1)=3>0. De las tres raíces reales, dos son positivas.

Como ∫2xdx=x² y ∫3dx=3x, la respuesta es x²+3x+C. La versión sin C olvida la constante de integración, 2x²+3x+C olvida dividir 2x entre 2, y x²+3+C no integra la constante como 3x.

Al aumentar cada exponente en uno y dividir se obtiene x³−2x²+x+C. La opción que empieza con 3x³ olvida dividir 3x² entre 3, la que tiene −4x² olvida dividir −4x entre 2, y 6x−4 deriva en lugar de integrar.

Al evaluar [x²] de 1 a 3 se obtiene 9−1=8. La opción 10 suma, como 9+1, 9 olvida sustituir el límite inferior, y 6 solo sustituye en el integrando, como 2×3.

Al evaluar [x³+x²] de 0 a 1 se obtiene (1+1)−0=2. La opción 5 sustituye x=1 sin integrar, como 3+2, la opción 1 calcula solo el término x³, y 3 se deja arrastrar por el coeficiente de 3x².

Al evaluar [x³+x²+x] de −1 a 1 se obtiene 3−(−1)=4. La parte impar 2x se anula, y 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 da lo mismo. La opción 3 usa solo el límite superior, 2 tiene el error de signo 3+(−1) en el límite inferior, y 6 duplica todo al tratar todos los términos como pares.

Al evaluar [x³/3−x] de 1 a 2 se obtiene (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3. La opción 0 sale de un error de signo que convierte el valor inferior −2/3 en +2/3, 2/3 usa solo el límite superior, y 6 integra x² como x³ sin dividir entre 3, ya que [x³−x] de 1 a 2 es 6−0=6.

Las intersecciones están en x=±2, y en ese intervalo y≦0. Así que S=∫[−2→2](4−x²)dx, y [4x−x³/3] de −2 a 2 da (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3. La opción −32/3 calcula ∫(x²−4)dx sin corregir el signo, cuando un área es positiva; 16/3 integra solo de 0 a 2; y 64/3 divide entre 3 donde la fórmula de un sexto exige dividir entre 6.

Las intersecciones salen de x²=x+2, lo que da x=−1 y 2. Así que S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2. La opción 27/2 divide entre 2 en lugar de 6, 9 divide entre 3, y 3 es solo el valor de β−α. Calcular directamente la integral definida también da 9/2.

Una integral definida es una constante, así que se pone A=∫[0→1]f(t)dt, lo que da f(x)=x²−A. Al sustituir de nuevo, A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A, así que 2A=1/3 y A=1/6. Por lo tanto, f(x)=x²−1/6. La opción x²−1/3 deja A=1/3 sin resolver la ecuación, x²+1/6 es un error de signo, y x²−1/4 sale de tomar ∫t²dt como 1/2 y obtener A=1/4.