ہائی اسکول · ہائی اسکول ریاضی: باقاعدہ ٹیسٹ لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
A(1,2) اور B(7,5) کے لیے، قطعۂ خط AB کو 2:1 کی نسبت میں اندرونی طور پر تقسیم کرنے والے نقطے کے محدد کیا ہیں؟
اندرونی تقسیم کے نقطے کے فارمولے سے x=(1·1+2·7)/3=5 اور y=(1·2+2·5)/3=4 ملتے ہیں، لہٰذا نقطہ (5,4) ہے۔ آپشن (3,3) میں نسبت کو 1:2 لیا گیا ہے، (13,8) بیرونی تقسیم کا نقطہ ہے، اور (4,7/2) وسطی نقطہ ہے۔
نقاط A(−1,3) اور B(2,−1) کے درمیان فاصلہ کیا ہے؟
AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5۔ آپشن √7 میں فرقوں کا مربع لیے بغیر 3+4 کا جذرِ مربع لیا گیا ہے، اور 25 میں آخری جذرِ مربع لینا بھول گئے ہیں۔ پہلے ہر فرق کا مربع لیں، پھر جمع کریں۔
(2,−1) سے گزرنے والے اور ڈھلوان 3 والے خط کی مساوات کیا ہے؟
y−(−1)=3(x−2) سے y+1=3x−6 ملتا ہے، لہٰذا y=3x−7۔ آپشن y=3x−5 علامت کی غلطی y−1=3(x−2) سے آتا ہے۔ x=2 رکھ کر جانچ لیں کہ y=−1 آتا ہے، اس سے یہ غلطی نہیں ہوتی۔
نقاط (1,2) اور (3,8) سے گزرنے والے خط کی مساوات کیا ہے؟
ڈھلوان (8−2)/(3−1)=3 ہے۔ y−2=3(x−1) سے y=3x−1 ملتا ہے۔ آپ یہ بھی جانچ سکتے ہیں کہ x=3 پر y=8 آتا ہے۔ آپشن (1/3)x+5/3 میں ڈھلوان کی کسر الٹ دی گئی ہے، اور y=3x+1 میں مقطع کی علامت غلط ہے۔
کون سا خط (3,−1) سے گزرتا ہے اور خط 2x+3y+1=0 کے متوازی ہے؟
متوازی خط کے لیے x اور y کے عددی سر وہی رہتے ہیں، اس لیے 2x+3y+c=0 لکھیں۔ (3,−1) رکھنے سے 6−3+c=0 ملتا ہے، لہٰذا c=−3 اور خط 2x+3y−3=0 ہے۔ آپشن 3x−2y−11=0 اس کے بجائے عمودی خط ہے۔
کون سا خط (4,1) سے گزرتا ہے اور خط y=2x+3 پر عمود ہے؟
عمود ہونے کا مطلب ہے کہ ڈھلوانوں کا حاصل ضرب −1 ہو، اس لیے مطلوبہ ڈھلوان −1/2 ہے۔ y−1=−(1/2)(x−4) سے y=−(1/2)x+3 ملتا ہے۔ آپشن y=−2x+9 میں صرف علامت بدلی گئی ہے، اور y=(1/2)x−1 میں صرف معکوس لیا گیا ہے۔
نقطہ (1,2) سے خط 3x+4y−1=0 تک فاصلہ کیا ہے؟
d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2۔ آپشن 10 میں √(a²+b²)=5 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں، اور 12/5 میں مستقل کو −1 کے بجائے +1 رکھا گیا ہے۔
A(2,1) اور B(5,7) کے لیے، قطعۂ خط AB کو 3:1 کی نسبت میں بیرونی طور پر تقسیم کرنے والے نقطے کے محدد کیا ہیں؟
بیرونی تقسیم کا نقطہ ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10) ہے۔ آپشن (17/4, 11/2) نسبت 3:1 میں اندرونی تقسیم کا نقطہ ہے، اور (1/2, −2) نسبت 1:3 میں بیرونی تقسیم کرتا ہے۔ تقسیم کی قسم اور نسبت کی ترتیب دونوں جانچ لیں۔
راس A(2,3)، B(−1,4) اور C(5,−1) والے مثلث کے مرکزِ ثقل کے محدد کیا ہیں؟
مرکزِ ثقل تینوں راسوں کی اوسط ہے: ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2)۔ آپشن (6,6) میں 3 سے تقسیم کیے بغیر صرف مجموعے دیے گئے ہیں، (3,3) میں 3 کے بجائے 2 سے تقسیم کیا گیا ہے، اور (2,3) صرف راس A کو دہراتا ہے۔
متوازی خطوط 3x−4y+2=0 اور 3x−4y−8=0 کے درمیان فاصلہ کیا ہے؟
متوازی خطوط ax+by+c₁=0 اور ax+by+c₂=0 کے درمیان فاصلہ |c₁−c₂|/√(a²+b²) ہوتا ہے، اس لیے یہ |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2 ہے۔ اسی طرح، ایک خط پر کسی نقطے، مثلاً (−2/3, 0)، سے دوسرے خط 3x−4y−8=0 تک فاصلہ |−2−8|/5 = 2 ہے۔ آپشن 10 میں √(a²+b²)=5 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں، اور 6/5 میں |2+(−8)| کی طرح علامت غلط لی گئی ہے۔
مرکز (2,−3) اور رداس 4 والے دائرے کی مساوات کیا ہے؟
معیاری شکل (x−a)²+(y−b)²=r² میں a=2، b=−3 اور r=4 رکھنے سے (x−2)²+(y+3)²=16 ملتا ہے۔ قوسین کے اندر کی علامتیں مرکز کے محدد کی علامتوں کے الٹ ہوتی ہیں۔ =4 والا آپشن رداس کا مربع لیے بغیر اسے دائیں طرف رکھ دیتا ہے۔
دائرے x²+y²+2x−8y+8=0 کا مرکز اور رداس کیا ہیں؟
مربع مکمل کرنے سے (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9 ملتا ہے، اس لیے مرکز (−1,4) اور رداس √9=3 ہے۔ مرکز (1,−4) میں علامتیں غلط پڑھی گئی ہیں، رداس 9 میں r² کو رداس بتایا گیا ہے، اور √8 میں مستقل رکن 8 کو r² لیا گیا ہے۔
جس دائرے کے قطر کے سرے نقاط A(−1,2) اور B(3,4) ہوں، اس کی مساوات کیا ہے؟
مرکز AB کا وسطی نقطہ، یعنی (1,3) ہے۔ رداس مرکز سے A تک کا فاصلہ √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5 ہے، اس لیے r²=5 اور دائرہ (x−1)²+(y−3)²=5 ہے۔ =20 والا آپشن قطر کا مربع AB²=20 دائیں طرف رکھ دیتا ہے، اور =√5 والے آپشن میں رداس کا مربع نہیں لیا گیا۔
دائرے x²+y²=5 اور خط y=2x+5 کی باہمی وضع کون سا بیان درست طور پر بتاتا ہے؟
خط کو 2x−y+5=0 لکھیں؛ مرکز (0,0) سے فاصلہ d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5 ہے۔ یہ رداس r=√5 کے برابر ہے، اس لیے وہ مس کرتے ہیں۔ اصل نکتہ d کا r سے موازنہ کرنا ہے، دونوں پہلی قوت میں۔ آپ ہم وقت حل کر کے یہ بھی جانچ سکتے ہیں کہ ممیز D=0 ہے۔
دائرے x²+y²=4 اور خط x+y=3 کے کتنے مشترک نقاط ہیں؟
مرکز (0,0) سے x+y−3=0 تک فاصلہ d=|−3|/√2=3/√2≈2.12 ہے۔ چونکہ رداس r=2 ہے، ہمارے پاس d>r ہے، اس لیے کوئی مشترک نقطہ نہیں۔ √2 سے تقسیم کرنا بھول کر d کو 3 لینے سے یہاں بھی یہی نتیجہ نکلتا ہے، لیکن موازنے سے پہلے d=3/√2 کا درست حساب کرنا اہم ہے۔
دائرے x²+y²=25 کے نقطہ (3,4) پر مماس کی مساوات کیا ہے؟
x²+y²=r² کے نقطہ (x₁,y₁) پر مماس x₁x+y₁y=r² ہوتا ہے، اس لیے یہ 3x+4y=25 ہے۔ آپشن 4x+3y=25 میں x₁ اور y₁ آپس میں بدل گئے ہیں، اور 3x+4y=5 میں دائیں طرف r² کے بجائے r رہ گیا ہے۔
نقطہ (3,1) سے دائرے x²+y²=2 پر کھینچے گئے مماسوں میں سے ایک کون سا ہے؟
مماس کو y=m(x−3)+1 لکھیں اور مرکز (0,0) سے فاصلہ √2 کے برابر رکھیں: |1−3m|/√(m²+1)=√2۔ دونوں طرف مربع لینے سے 7m²−6m−1=0 ملتا ہے، لہٰذا m=1 یا −1/7۔ m=1 کے ساتھ خط y=x−2 ہے۔ خط y=x+2 اس دائرے کا مماس تو ہے لیکن (3,1) سے نہیں گزرتا، کیونکہ 3+2=5≠1، اس لیے یہ غلط ہے۔
اگر دائرہ (x−1)²+(y−2)²=r² خط 3x+4y+9=0 کو مس کرے تو رداس r کی قیمت کیا ہے؟
مس کرنے کا مطلب ہے کہ مرکز سے خط تک فاصلہ رداس کے برابر ہو۔ یہاں d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4 ہے، لہٰذا r=4۔ آپشن 20 میں 5 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں، اور 2/5 میں +9 کی جگہ −9 رکھا گیا ہے۔
خط x=3 دائرے x²+y²=25 سے جو وتر کاٹتا ہے، اس کی لمبائی کیا ہے؟
مرکز (0,0) سے خط x=3 تک فاصلہ d=3 ہے۔ وتر کی لمبائی 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8 ہے۔ آپشن 4 صرف آدھا، یعنی وتر کا ایک حصہ دیتا ہے، اور 10 اسے قطر سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔
مستقل k کی کس حد کے لیے دائرہ x²+y²=4 اور خط y=x+k دو مختلف نقاط پر ملتے ہیں؟
مرکز (0,0) سے x−y+k=0 تک فاصلہ d=|k|/√2 ہے، اور اسے رداس 2 سے کم ہونا چاہیے۔ |k|<2√2 سے −2√2<k<2√2 ملتا ہے۔ آپشن −2<k<2 میں √2 سے ضرب دینا بھول گئے ہیں، اور برابری کو شامل کرنے سے مماس والی صورت بھی آ جائے گی، جس میں صرف ایک مشترک نقطہ ہوتا ہے۔
A(−2,0) اور B(4,0) سے مساوی فاصلے والے نقاط کا محل کیا ہے؟
P(x,y) لکھیں تو شرط AP²=BP² سے (x+2)²+y²=(x−4)²+y² ملتا ہے۔ ترتیب دینے سے 12x=12 ملتا ہے، لہٰذا x=1۔ یہ قطعۂ خط AB کا عمودی ناصف ہے اور اس کے وسطی نقطے (1,0) سے گزرتا ہے۔ آپ جانچ سکتے ہیں کہ یہ وسطی نقطے کے x-محدد (−2+4)/2=1 سے مطابقت رکھتا ہے۔
نقاط A(0,0) اور B(3,0) کے لیے، AP:PB=2:1 کو پورا کرنے والے نقاط P کا محل کیا ہے؟
AP²=4PB² سے x²+y²=4{(x−3)²+y²} ملتا ہے۔ ترتیب دینے سے x²+y²−8x+12=0، یعنی (x−4)²+y²=4 ملتا ہے، جو مرکز (4,0) اور رداس 2 والا اپولونیئس کا دائرہ ہے۔ جب نسبت 1:1 نہ ہو تو محل خط کے بجائے دائرہ ہوتا ہے۔
جب نقطہ Q دائرے x²+y²=9 پر حرکت کرتا ہے تو A(6,0) کو Q سے ملانے والے قطعۂ خط AQ کے وسطی نقطے P کا محل کیا ہے؟
P(x,y) اور Q(s,t) لکھیں تو x=(s+6)/2 اور y=t/2، اس لیے s=2x−6 اور t=2y۔ انہیں s²+t²=9 میں رکھنے سے (2x−6)²+4y²=9، یعنی (x−3)²+y²=9/4 ملتا ہے، جو مرکز (3,0) اور رداس 3/2 والا دائرہ ہے۔ رداس 9/4 میں r² کو رداس پڑھا گیا ہے، اور رداس 3 میں نصف کا جزو ضربی بھول گئے ہیں۔
نامساوات y > 2x+1 کس خطے کو ظاہر کرتی ہے؟
شرط y > f(x) کا مطلب ہے منحنی یا خط سے اوپر کا خطہ۔ چونکہ برابری کی علامت نہیں ہے، اس لیے سرحدی خط شامل نہیں۔ مثال کے طور پر نقطہ (0,3) شرط 3>1 کو پورا کرتا ہے اور خط سے اوپر واقع ہے، جو اس کی تصدیق کرتا ہے۔
نامساوات x²+y² ≦ 9 کس خطے کو ظاہر کرتی ہے؟
شرط x²+y² ≦ r² دائرے کا اندرونی حصہ ہے، اور چونکہ برابری کی اجازت ہے، اس لیے سرحدی دائرہ خود بھی شامل ہے۔ مبدا رکھنے سے 0≦9 ملتا ہے، جو درست ہے، اس لیے خطہ وہ طرف ہے جس میں مبدا ہے، یعنی اندرونی حصہ۔
کون سا نقطہ خطہ y ≦ 3x−4 میں واقع ہے؟
ہر نقطے کو رکھ کر جانچیں۔ (2,1) کے لیے: 1≦3·2−4=2 درست ہے۔ (0,0) کے لیے: 0≦−4 غلط ہے؛ (1,0) کے لیے: 0≦−1 غلط ہے؛ (0,3) کے لیے: 3≦−4 غلط ہے۔ نقاط رکھ کر جانچنا ایک قابلِ اعتماد طریقہ ہے جو خطے کے ہر سوال میں کام آتا ہے۔
ہم وقت نامساواتوں x≧0، y≧0 اور x+y≦4 سے ظاہر ہونے والے خطے کا رقبہ کیا ہے؟
یہ خطہ راس (0,0)، (4,0) اور (0,4) والا قائمہ الزاویہ مثلث ہے۔ اس کا رقبہ 4×4÷2 = 8 ہے۔ آپشن 16 اسے ضلع 4 والا مربع سمجھ لیتا ہے اور 2 سے تقسیم بھول جاتا ہے۔ حساب سے پہلے تینوں نامساواتوں کا مشترک حصہ خاکے میں بنا لیں۔
x≧0، y≧0، x+2y≦6 اور 2x+y≦6 کے لیے x+y کی اعظم قیمت کیا ہے؟
یہ خطہ راس (0,0)، (3,0)، (2,2) اور (0,3) والا چوکور ہے۔ خط x+y=k کو کھسکاتے ہوئے، k کی قیمت اس وقت سب سے بڑی ہوتی ہے جب خط راس (2,2) سے گزرے، جس سے k=4 ملتا ہے۔ آپشن 3 دراصل (3,0) یا (0,3) پر قیمت ہے، اور 6 کسی شرط کے دائیں رخ کو محض دہراتا ہے۔
x²+y² ≦ 25 کے لیے 3x+4y کی اعظم قیمت کیا ہے؟
3x+4y=k رکھنے سے ایک خط ملتا ہے۔ اتنا کافی ہے کہ مبدا سے اس خط تک فاصلہ زیادہ سے زیادہ رداس 5 ہو، یعنی |k|/√(3²+4²) ≦ 5، یعنی |k| ≦ 25۔ اعظم قیمت 25 ہے، جو نقطۂ تماس (3,4) پر حاصل ہوتی ہے۔ آپشن 35 حساب 5×(3+4) سے آتا ہے، 15 نقطہ (5,0) پر قیمت ہے، اور 7 عددی سروں کا مجموعہ ہے۔
جب نقطہ (x,y) دائرے x²+y²=4 پر حرکت کرتا ہے تو x+y کی اعظم قیمت کیا ہے؟
x+y=k رکھیں تو خط x+y−k=0 دائرے سے اس وقت ملتا ہے جب |−k|/√2 ≦ 2 ہو، یعنی |k| ≦ 2√2۔ اعظم قیمت 2√2 ہے، جو نقطۂ تماس (√2,√2) پر حاصل ہوتی ہے۔ آپشن 2 صرف رداس کو دہراتا ہے، اور 4 یہ غلط فرض کر لیتا ہے کہ x اور y دونوں الگ الگ 2 تک پہنچ سکتے ہیں، جو دائرے پر ناممکن ہے۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
* یہ ہائی اسکول کے تعلیمی مواد کی دہرائی کے لیے ہے۔ اگر علامات یا طریقۂ کار آپ کی درسی کتاب یا آپ کے اسکول کی تدریس سے مختلف ہو تو اپنی درسی کتاب اور اپنے استاد کی وضاحت پر عمل کریں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ یہ ترجمہ AI کی مدد سے کیا گیا ہے اور اس میں غلطیاں ہو سکتی ہیں۔ ترجمے کی غلطی کی اطلاع دیں جاپانی اصل متن دیکھیں