도형과 방정식 (수학Ⅱ: 일본 고교 수학 II)

내분점의 공식으로 x=(1·1+2·7)/3=5, y=(1·2+2·5)/3=4 이므로 (5,4) 이다. (3,3) 은 비를 1:2 로 뒤바꾼 실수, (13,8) 은 외분점을 계산한 실수, (4,7/2) 는 중점이다.

AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5 이다. √7 은 차를 제곱하지 않고 3+4 의 제곱근을 취한 실수, 25 는 마지막에 제곱근을 잊은 실수이다. 차를 각각 제곱한 뒤 더한다.

y−(−1)=3(x−2) 에서 y+1=3x−6, 즉 y=3x−7 이다. y=3x−5 는 y−1=3(x−2) 로 부호를 틀린 실수이다. x=2 를 대입해 y=−1 이 되는지 확인하면 막을 수 있다.

기울기=(8−2)/(3−1)=3 이다. y−2=3(x−1) 에서 y=3x−1 이다. x=3 에서 y=8 이 되는 것도 확인할 수 있다. (1/3)x+5/3 은 기울기의 분모와 분자를 뒤바꾼 실수, y=3x+1 은 절편의 부호 실수이다.

평행하면 x, y 의 계수는 그대로 두고 2x+3y+c=0 으로 놓을 수 있다. (3,−1) 을 대입하면 6−3+c=0 이므로 c=−3 이다. 따라서 2x+3y−3=0 이다. 3x−2y−11=0 은 수직인 직선을 구한 실수이다.

수직 조건은 기울기의 곱이 −1 이므로 구하는 기울기는 −1/2 이다. y−1=−(1/2)(x−4) 에서 y=−(1/2)x+3 이다. y=−2x+9 는 부호만 바꾼 실수, y=(1/2)x−1 은 역수만 취한 실수이다.

d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2 이다. 10 은 √(a²+b²)=5 로 나누는 것을 잊은 실수, 12/5 는 −1 의 부호를 +1 로 대입한 실수이다.

외분점은 ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10) 이다. (17/4, 11/2) 는 3:1 의 내분점을 구한 실수, (1/2, −2) 는 1:3 으로 외분한 실수이다. 내분과 외분, 비의 순서를 확인한다.

무게중심은 세 꼭짓점 좌표의 평균이므로 ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2) 이다. (6,6) 은 3 으로 나누는 것을 잊고 합 그대로 답한 실수, (3,3) 은 3 이 아니라 2 로 나눈 실수, (2,3) 은 꼭짓점 A 의 좌표를 그대로 답한 실수이다.

평행한 두 직선 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 사이의 거리는 |c₁−c₂|/√(a²+b²) 이다. 따라서 |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2 이다. 한쪽 직선 위의 점, 예를 들어 (−2/3, 0) 에서 다른 쪽 3x−4y−8=0 까지의 거리 |−2−8|/5 = 2 로 생각해도 같다. 10 은 √(a²+b²)=5 로 나누는 것을 잊은 실수, 6/5 는 |2+(−8)| 로 부호를 틀린 실수이다.

표준형 (x−a)²+(y−b)²=r² 에 a=2, b=−3, r=4 를 대입하여 (x−2)²+(y+3)²=16 이 된다. 괄호 안의 부호는 중심 좌표와 반대가 된다. =4 는 반지름을 그대로 우변에 쓴(r² 로 하지 않은) 실수이다.

완전제곱꼴로 고치면 (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9 이다. 중심은 (−1,4), 반지름은 √9=3 이다. 중심 (1,−4) 는 부호를 잘못 읽은 것, 반지름 9 는 r² 을 그대로 반지름으로 한 실수, √8 은 상수항 8 을 그대로 r² 으로 한 실수이다.

중심은 AB 의 중점 (1,3) 이다. 반지름은 중심에서 A 까지의 거리 √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5 이므로 r²=5 이다. 따라서 (x−1)²+(y−3)²=5 이다. =20 은 지름 AB 의 제곱(AB²=20)을 우변에 쓴 실수, =√5 는 r² 으로 하지 않은 실수이다.

직선을 2x−y+5=0 으로 두고, 중심 (0,0) 에서의 거리 d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5 이다. 반지름 r=√5 와 같으므로 접한다. d 와 r(둘 다 1 제곱)을 비교하는 것이 요점이다. 연립하여 판별식 D=0 을 확인해도 좋다.

중심 (0,0) 에서 x+y−3=0 까지의 거리 d=|−3|/√2=3/√2≈2.12 이다. 반지름 r=2 이므로 d>r 이고 공유점은 없다(0개). d 를 3 으로 잘못 보아도(√2 로 나누는 것을 잊음) 결론은 같지만, d=3/√2 로 정확히 계산해 비교하는 습관이 중요하다.

원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁,y₁) 에서의 접선은 x₁x+y₁y=r² 이다. 따라서 3x+4y=25 이다. 4x+3y=25 는 x₁ 과 y₁ 을 뒤바꾼 실수, 3x+4y=5 는 우변을 r 그대로 둔 실수이다.

접선을 y=m(x−3)+1 로 놓고 중심 (0,0) 에서의 거리 = √2 라 하면 |1−3m|/√(m²+1)=√2 이다. 양변을 제곱하면 7m²−6m−1=0 이므로 m=1, −1/7 이다. m=1 일 때 y=x−2 이다. y=x+2 는 이 원의 접선이기는 하지만 점 (3,1) 을 지나지 않으므로(3+2=5≠1) 틀리다.

접할 조건은 '중심에서 직선까지의 거리 = 반지름'이다. d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4 이므로 r=4 이다. 20 은 5 로 나누는 것을 잊은 실수, 2/5 는 +9 를 −9 로 대입한 실수이다.

중심 (0,0) 에서 직선 x=3 까지의 거리는 d=3 이다. 현의 길이 = 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8 이다. 4 는 절반(한쪽만)의 실수, 10 은 지름과 혼동한 실수이다.

x−y+k=0 과 중심 (0,0) 사이의 거리 d=|k|/√2 가 반지름 2 보다 작으면 된다. |k|<2√2 에서 −2√2<k<2√2 이다. −2<k<2 는 √2 를 곱하는 것을 잊은 실수이고, ≦ 을 포함하면 접하는 경우(공유점 1 개)까지 들어가 버린다.

P(x,y) 로 놓으면 AP²=BP² 에서 (x+2)²+y²=(x−4)²+y² 이다. 정리하면 12x=12, 즉 x=1 이다. 이는 선분 AB 의 수직이등분선이며 중점 (1,0) 을 지난다. 중점의 x 좌표 (−2+4)/2=1 과 일치함을 확인할 수 있다.

AP²=4PB² 에서 x²+y²=4{(x−3)²+y²} 이다. 정리하면 x²+y²−8x+12=0, 즉 (x−4)²+y²=4 이다. 중심 (4,0), 반지름 2 인 아폴로니우스의 원이 된다. 비가 1:1 이 아닐 때 자취는 직선이 아니라 원이 된다.

P(x,y), Q(s,t) 라 하면 x=(s+6)/2, y=t/2 이므로 s=2x−6, t=2y 이다. s²+t²=9 에 대입하면 (2x−6)²+4y²=9, 즉 (x−3)²+y²=9/4 이다. 중심 (3,0), 반지름 3/2 인 원이다. 반지름 9/4 는 r² 을 반지름으로 읽은 실수, 반지름 3 은 1/2 배를 잊은 실수이다.

y > f(x) 는 곡선이나 직선의 위쪽이다. 등호가 붙어 있지 않으므로 경계인 직선은 포함하지 않는다. 예를 들어 점 (0,3) 은 3>1 로 성립하며 직선의 위쪽에 있다는 점으로도 확인할 수 있다.

x²+y² ≦ r² 은 원의 내부이고, 등호가 붙어 있으므로 둘레(원 자체)도 포함한다. 원점을 대입하면 0≦9 로 성립하므로 원점을 포함하는 쪽, 즉 내부라고 판단할 수 있다.

각 점을 대입해 확인한다. (2,1): 1≦3·2−4=2 로 성립한다. (0,0): 0≦−4 는 성립하지 않고, (1,0): 0≦−1 도 성립하지 않으며, (0,3): 3≦−4 도 성립하지 않는다. 점을 대입해 판정하는 방법은 어떤 영역 문제에서도 쓸 수 있는 확실한 방법이다.

영역은 (0,0), (4,0), (0,4) 를 꼭짓점으로 하는 직각삼각형이다. 넓이 = 4×4÷2 = 8 이다. 16 은 한 변이 4 인 정사각형으로 잘못 본 실수이다(÷2 를 잊음). 세 부등식의 공통부분을 그림으로 나타낸 뒤 계산한다.

영역은 (0,0), (3,0), (2,2), (0,3) 을 꼭짓점으로 하는 사각형이다. x+y=k 로 놓은 직선을 평행이동하면 k 가 최대가 되는 것은 꼭짓점 (2,2) 를 지날 때이고 k=4 이다. 3 은 (3,0) 이나 (0,3) 에서의 값, 6 은 제약식의 우변을 그대로 답한 실수이다.

3x+4y=k 로 놓으면 직선이 된다. 원점에서 직선까지의 거리가 반지름 5 이하이면 되므로 |k|/√(3²+4²) ≦ 5 에서 |k| ≦ 25 이다. 최댓값은 25 이다(접점 (3,4) 에서 취한다). 35 는 5×(3+4) 로 한 실수, 15 는 점 (5,0) 에서의 값, 7 은 계수의 합이다.

x+y=k 로 놓으면 직선 x+y−k=0 이 원과 공유점을 가질 조건은 |−k|/√2 ≦ 2, 즉 |k| ≦ 2√2 이다. 최댓값은 2√2 이다(접점 (√2,√2) 에서 취한다). 2 는 반지름 그대로이고, 4 는 x, y 가 각각 독립적으로 최대 2 씩 될 수 있다고 본 오답이다(원 위에서는 동시에 x=y=2 가 될 수 없다).