图形与方程

用内分点公式得 x=(1·1+2·7)/3=5, y=(1·2+2·5)/3=4，即 (5,4)。(3,3) 是把比弄成 1:2 的错误，(13,8) 是算成外分点的错误，(4,7/2) 是中点。

AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5。√7 是没有把差平方、直接对 3+4 开方的错误，25 是最后忘了开方的错误。要先分别把差平方再相加。

由 y−(−1)=3(x−2) 得 y+1=3x−6，即 y=3x−7。y = 3x−5 是写成 y−1=3(x−2)、符号出错的结果。代入 x=2 检查 y 是否为 −1，就能避免这个错误。

斜率=(8−2)/(3−1)=3。由 y−2=3(x−1) 得 y=3x−1。也可以验证 x=3 时 y=8。(1/3)x+5/3 是把斜率的分子分母弄反的错误，y = 3x+1 是截距的符号错误。

平行时 x, y 的系数保持不变，可设为 2x+3y+c=0。代入 (3,−1) 得 6−3+c=0，c=−3，所以是 2x+3y−3=0。3x−2y−11=0 是求成垂直直线的错误。

垂直的条件是斜率之积为 −1，所以所求斜率是 −1/2。由 y−1=−(1/2)(x−4) 得 y=−(1/2)x+3。y = −2x+9 是只改符号的错误，y = (1/2)x−1 是只取倒数的错误。

d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2。10 是忘了除以 √(a²+b²)=5 的错误，12/5 是把 −1 当成 +1 代入的错误。

外分点是 ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10)。(17/4, 11/2) 是求成 3:1 的内分点的错误，(1/2, −2) 是按 1:3 外分的错误。要确认是内分还是外分，以及比的先后顺序。

重心是三个顶点坐标的平均：((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2)。(6,6) 是忘了除以 3、直接答和的错误，(3,3) 是除以 2 而不是 3 的错误，(2,3) 是直接答顶点 A 的坐标的错误。

两条平行直线 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 之间的距离是 |c₁−c₂|/√(a²+b²)。所以 |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2。也可以取其中一条直线上的点，例如 (−2/3, 0)，到另一条 3x−4y−8=0 的距离 |−2−8|/5 = 2，结果相同。10 是忘了除以 √(a²+b²)=5 的错误，6/5 是算成 |2+(−8)|、符号出错的结果。

把 a=2, b=−3, r=4 代入标准式 (x−a)²+(y−b)²=r²，得 (x−2)²+(y+3)²=16。括号内的符号与圆心坐标相反。右边写成 =4 是把半径直接放到右边（没有取 r²）的错误。

配方得 (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9。所以圆心 (−1,4)、半径 √9=3。圆心 (1,−4) 是符号读错，半径 9 是把 r² 当成半径的错误，√8 是把常数项 8 直接当作 r² 的错误。

圆心是 AB 的中点 (1,3)。半径是圆心到 A 的距离 √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5，所以 r²=5。于是 (x−1)²+(y−3)²=5。=20 是把直径 AB 的平方（AB²=20）放到右边的错误，=√5 是没有取 r² 的错误。

把直线写成 2x−y+5=0，圆心 (0,0) 到它的距离 d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5。它与半径 r=√5 相等，所以相切。要点是比较 d 与 r（都是一次的量）。也可以联立后验证判别式 D=0。

圆心 (0,0) 到 x+y−3=0 的距离 d=|−3|/√2=3/√2≈2.12。半径 r=2，因为 d>r，所以没有公共点（0 个）。把 d 误算成 3（忘了除以 √2）虽然结论相同，但仍应养成正确算出 d=3/√2 再比较的习惯。

圆 x²+y²=r² 上的点 (x₁,y₁) 处的切线是 x₁x+y₁y=r²，所以是 3x+4y=25。4x+3y=25 是把 x₁ 与 y₁ 弄反的错误，3x+4y=5 是右边仍写成 r 的错误。

设切线为 y=m(x−3)+1，令圆心 (0,0) 到它的距离等于 √2，得 |1−3m|/√(m²+1)=√2。两边平方得 7m²−6m−1=0，m=1, −1/7。m=1 时为 y=x−2。y = x+2 虽然是该圆的切线，但不经过点 (3,1)（3+2=5≠1），所以不对。

相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4，所以 r=4。20 是忘了除以 5 的错误，2/5 是把 +9 当成 −9 代入的错误。

圆心 (0,0) 到直线 x=3 的距离是 d=3。弦长 = 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8。4 是只算了一半（单侧）的错误，10 是与直径混淆的错误。

只要圆心 (0,0) 到 x−y+k=0 的距离 d=|k|/√2 小于半径 2 即可。由 |k|<2√2 得 −2√2<k<2√2。−2<k<2 是忘了乘 √2 的错误；若含等号，就会把相切（只有 1 个公共点）的情形也算进去。

设点为 P(x,y)，由 AP²=BP² 得 (x+2)²+y²=(x−4)²+y²。整理得 12x=12，即 x=1。它是线段 AB 的垂直平分线，经过中点 (1,0)。可以验证它与中点的横坐标 (−2+4)/2=1 一致。

由 AP²=4PB² 得 x²+y²=4{(x−3)²+y²}。整理得 x²+y²−8x+12=0，即 (x−4)²+y²=4。这是圆心 (4,0)、半径 2 的阿波罗尼斯圆。比不是 1:1 时轨迹不是直线而是圆。

设 P(x,y)、Q(s,t)，由 x=(s+6)/2, y=t/2 得 s=2x−6, t=2y。代入 s²+t²=9 得 (2x−6)²+4y²=9，即 (x−3)²+y²=9/4。所以是圆心 (3,0)、半径 3/2 的圆。半径 9/4 是把 r² 读成半径的错误，半径 3 是忘了乘 1/2 的错误。

y > f(x) 表示曲线或直线的上方。因为不带等号，所以不含作为边界的直线。例如点 (0,3) 满足 3>1，它位于直线上方，据此也可以确认。

x²+y² ≦ r² 表示圆的内部，且带等号，所以也包含圆周（圆本身）。代入原点得 0≦9 成立，可知含原点的一侧即内部。

把各点代入检验。(2,1)：1≦3·2−4=2，成立。(0,0)：0≦−4 不成立；(1,0)：0≦−1 不成立；(0,3)：3≦−4 不成立。代入点来判断，是任何区域问题都能用的可靠方法。

该区域是以 (0,0), (4,0), (0,4) 为顶点的直角三角形。面积 = 4×4÷2 = 8。16 是误当成边长为4的正方形的错误（忘了 ÷2）。先把三个不等式的公共部分画出来再计算。

该区域是以 (0,0), (3,0), (2,2), (0,3) 为顶点的四边形。把直线 x+y=k 平行移动，k 取最大值是在经过顶点 (2,2) 时，此时 k=4。3 是 (3,0) 或 (0,3) 处的值，6 是直接照抄约束式右边的错误。

设 3x+4y=k，它是一条直线。只要原点到该直线的距离不超过半径 5 即可，由 |k|/√(3²+4²) ≦ 5 得 |k| ≦ 25。最大值是 25（在切点 (3,4) 处取到）。35 是按 5×(3+4) 计算的错误，15 是点 (5,0) 处的值，7 是系数之和。

设 x+y=k，直线 x+y−k=0 与圆有公共点的条件是 |−k|/√2 ≦ 2，即 |k| ≦ 2√2。最大值是 2√2（在切点 (√2,√2) 处取到）。2 是直接用了半径，4 是误以为 x, y 可以各自独立取到最大值 2（在圆上不可能同时有 x=y=2）。