圖形與方程式（數學Ⅱ，日本高中的第二階段數學）

用內分點公式，x=(1·1+2·7)/3=5, y=(1·2+2·5)/3=4，得 (5,4)。(3,3) 是把比誤看成 1:2；(13,8) 是算成外分點；(4,7/2) 則是中點。

AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5。√7 是沒有把差平方、直接開 3+4 的根號；25 則是最後忘了開根號。要先把各個差平方再相加。

由 y−(−1)=3(x−2) 得 y+1=3x−6，即 y=3x−7。y=3x−5 是寫成 y−1=3(x−2)、符號弄錯。代入 x=2 檢查 y 是否為 −1 就能避免。

斜率＝(8−2)/(3−1)=3。由 y−2=3(x−1) 得 y=3x−1。也可以檢查 x=3 時 y 是否為 8。(1/3)x+5/3 是把斜率的分子分母顛倒；y=3x+1 則是截距的符號弄錯。

平行時 x, y 的係數不變，可設為 2x+3y+c=0。代入 (3,−1) 得 6−3+c=0，故 c=−3，即 2x+3y−3=0。3x−2y−11=0 是求成垂直線的錯誤。

垂直的條件是斜率乘積為 −1，所求斜率是 −1/2。由 y−1=−(1/2)(x−4) 得 y=−(1/2)x+3。y=−2x+9 是只把符號變號；y=(1/2)x−1 則是只取了倒數。

d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2。10 是忘了除以 √(a²+b²)=5；12/5 則是把 −1 誤代成 +1。

外分點為 ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10)。(17/4, 11/2) 是求成 3:1 的內分點；(1/2, −2) 是以 1:3 外分。要確認內分與外分以及比的順序。

重心是三頂點坐標的平均，((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2)。(6,6) 是忘了除以 3、停在總和；(3,3) 是除以 2 而不是 3；(2,3) 則是直接把頂點 A 的坐標當成答案。

兩平行線 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 的距離是 |c₁−c₂|/√(a²+b²)，所以 |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2。也可以取其中一線上的點，例如 (−2/3, 0)，算它到 3x−4y−8=0 的距離 |−2−8|/5 = 2，結果相同。10 是忘了除以 √(a²+b²)=5；6/5 則是誤算成 |2+(−8)|。

把 a=2, b=−3, r=4 代入標準式 (x−a)²+(y−b)²=r²，得 (x−2)²+(y+3)²=16。括號內的符號與圓心坐標相反。寫成 =4 是把半徑直接放到右邊、沒有平方成 r² 的錯誤。

配方得 (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9，所以圓心 (−1,4)、半徑 √9=3。圓心 (1,−4) 是符號讀錯；半徑 9 是把 r² 當成半徑；√8 則是把常數項 8 直接當成 r²。

圓心是 AB 的中點 (1,3)。半徑是圓心到 A 的距離 √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5，所以 r²=5，得 (x−1)²+(y−3)²=5。=20 是把直徑的平方（AB²=20）放到右邊；=√5 則是沒有平方成 r²。

把直線寫成 2x−y+5=0，圓心 (0,0) 到它的距離 d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5，與半徑 r=√5 相等，所以相切。重點是比較 d 與 r（都是一次的量）。也可以聯立後確認判別式 D=0。

圓心 (0,0) 到 x+y−3=0 的距離 d=|−3|/√2=3/√2≈2.12，半徑 r=2，因為 d>r，所以沒有交點（0 個）。就算把 d 誤算成 3（忘了除以 √2）結論也一樣，但養成正確算出 d=3/√2 再比較的習慣很重要。

圓 x²+y²=r² 上的點 (x₁,y₁) 處的切線是 x₁x+y₁y=r²，所以是 3x+4y=25。4x+3y=25 是把 x₁ 與 y₁ 弄反；3x+4y=5 則是右邊仍停在 r。

設切線為 y=m(x−3)+1，圓心 (0,0) 到它的距離等於 √2，即 |1−3m|/√(m²+1)=√2。兩邊平方得 7m²−6m−1=0，m=1, −1/7。m=1 時為 y=x−2。y=x+2 雖然也和這個圓相切，但不通過點 (3,1)（3+2=5≠1），所以不對。

相切的條件是圓心到直線的距離等於半徑。d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4，所以 r=4。20 是忘了除以 5；2/5 則是把 +9 誤代成 −9。

圓心 (0,0) 到直線 x=3 的距離 d=3。弦長＝2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8。4 是只算了一半（單邊）；10 則是與直徑混淆。

只要圓心 (0,0) 到 x−y+k=0 的距離 d=|k|/√2 小於半徑 2 即可。由 |k|<2√2 得 −2√2<k<2√2。−2<k<2 是忘了乘 √2；若加上等號，就會把相切（只有 1 個交點）的情形也算進去。

設 P(x,y)，由 AP²=BP² 得 (x+2)²+y²=(x−4)²+y²，整理成 12x=12，即 x=1。它是線段 AB 的中垂線，通過中點 (1,0)。可以用中點的 x 坐標 (−2+4)/2=1 來確認。

由 AP²=4PB² 得 x²+y²=4{(x−3)²+y²}，整理成 x²+y²−8x+12=0，即 (x−4)²+y²=4。這是圓心 (4,0)、半徑 2 的阿波羅尼斯圓。當比不是 1:1 時，軌跡不是直線而是圓。

設 P(x,y)、Q(s,t)，則 x=(s+6)/2, y=t/2，故 s=2x−6, t=2y。代入 s²+t²=9 得 (2x−6)²+4y²=9，即 (x−3)²+y²=9/4，是圓心 (3,0)、半徑 3/2 的圓。半徑 9/4 是把 r² 當成半徑；半徑 3 則是忘了乘 1/2。

y > f(x) 表示曲線或直線的上方。因為沒有等號，所以不包含作為邊界的直線。例如點 (0,3) 滿足 3>1，也可看出它落在直線的上方。

x²+y² ≦ r² 表示圓的內部，而且因為有等號，所以連圓周（圓本身）也包含。代入原點得 0≦9 成立，可判斷含原點的那一側就是內部。

把各點代入檢查。(2,1)：1≦3·2−4=2，成立。(0,0)：0≦−4 不成立；(1,0)：0≦−1 不成立；(0,3)：3≦−4 不成立。代點判斷是任何區域問題都能用的可靠方法。

區域是以 (0,0), (4,0), (0,4) 為頂點的直角三角形，面積＝4×4÷2 = 8。16 是誤看成邊長 4 的正方形（忘了 ÷2）。先把三個不等式的交集畫出來再計算。

區域是以 (0,0), (3,0), (2,2), (0,3) 為頂點的四邊形。把 x+y=k 的直線平移，k 最大的情形是通過頂點 (2,2)，此時 k=4。3 是 (3,0) 或 (0,3) 處的值；6 則是直接把限制式的右邊當成答案。

令 3x+4y=k，這是一條直線。只要原點到該直線的距離不超過半徑 5 即可，由 |k|/√(3²+4²) ≦ 5 得 |k| ≦ 25，所以最大值是 25（在切點 (3,4) 取到）。35 是算成 5×(3+4)；15 是點 (5,0) 處的值；7 則是係數之和。

令 x+y=k，直線 x+y−k=0 與圓有交點的條件是 |−k|/√2 ≦ 2，即 |k| ≦ 2√2，所以最大值是 2√2（在切點 (√2,√2) 取到）。2 是直接用了半徑；4 則是誤以為 x 與 y 可以各自獨立取到最大值 2（在圓上不可能同時 x=y=2）。