รูปเรขาคณิตกับสมการ

ใช้สูตรจุดแบ่งภายในได้ x=(1·1+2·7)/3=5 และ y=(1·2+2·5)/3=4 จึงได้ (5,4) ข้อ (3,3) เกิดจากสลับอัตราส่วนเป็น 1:2 ข้อ (13,8) เกิดจากคำนวณจุดแบ่งภายนอก และ (4,7/2) คือจุดกึ่งกลาง

AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5 ข้อ √7 เกิดจากไม่ยกกำลังสองผลต่างแล้วถอดรากของ 3+4 และ 25 เกิดจากลืมถอดรากในขั้นสุดท้าย ต้องยกกำลังสองผลต่างของแต่ละแกนก่อนแล้วจึงนำมาบวกกัน

จาก y−(−1)=3(x−2) ได้ y+1=3x−6 นั่นคือ y=3x−7 ข้อ y=3x−5 เกิดจากใส่เครื่องหมายผิดเป็น y−1=3(x−2) ป้องกันได้ด้วยการแทน x=2 แล้วตรวจว่าได้ y=−1 หรือไม่

ความชันเท่ากับ (8−2)/(3−1)=3 จาก y−2=3(x−1) ได้ y=3x−1 ตรวจได้ว่าเมื่อ x=3 จะได้ y=8 ข้อ (1/3)x+5/3 เกิดจากกลับเศษกับส่วนของความชัน และ y=3x+1 เกิดจากเครื่องหมายของค่าคงที่ผิด

ถ้าขนานกัน สัมประสิทธิ์ของ x และ y จะคงเดิม จึงตั้งเป็น 2x+3y+c=0 แทน (3,−1) ได้ 6−3+c=0 นั่นคือ c=−3 จึงได้ 2x+3y−3=0 ข้อ 3x−2y−11=0 เกิดจากไปหาเส้นตรงที่ตั้งฉากแทน

เงื่อนไขการตั้งฉากคือผลคูณของความชันเท่ากับ −1 ความชันที่ต้องการจึงเป็น −1/2 จาก y−1=−(1/2)(x−4) ได้ y=−(1/2)x+3 ข้อ y=−2x+9 เกิดจากเปลี่ยนแค่เครื่องหมาย และ y=(1/2)x−1 เกิดจากทำเป็นส่วนกลับเพียงอย่างเดียว

d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2 ข้อ 10 เกิดจากลืมหารด้วย √(a²+b²)=5 และ 12/5 เกิดจากแทนเครื่องหมายของ −1 ผิดเป็น +1

จุดแบ่งภายนอกคือ ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10) ข้อ (17/4, 11/2) เกิดจากหาจุดแบ่งภายใน 3:1 และ (1/2, −2) เกิดจากแบ่งภายนอกเป็น 1:3 ต้องตรวจทั้งชนิดของการแบ่งและลำดับของอัตราส่วน

จุดเซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยของพิกัดของจุดยอดทั้งสาม ได้ ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2) ข้อ (6,6) เกิดจากลืมหารด้วย 3 แล้วตอบเป็นผลรวม ข้อ (3,3) เกิดจากหารด้วย 2 แทนที่จะเป็น 3 และ (2,3) เกิดจากตอบพิกัดของจุดยอด A ไปเลย

ระยะระหว่างเส้นตรงขนาน ax+by+c₁=0 กับ ax+by+c₂=0 เท่ากับ |c₁−c₂|/√(a²+b²) จึงได้ |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2 หรือจะคิดจากจุดบนเส้นหนึ่ง เช่น (−2/3, 0) ไปยังอีกเส้นคือ 3x−4y−8=0 ได้ระยะ |−2−8|/5 = 2 เท่ากัน ข้อ 10 เกิดจากลืมหารด้วย √(a²+b²)=5 และ 6/5 เกิดจากคิดเครื่องหมายผิดเป็น |2+(−8)|

แทน a=2, b=−3 และ r=4 ในรูปมาตรฐาน (x−a)²+(y−b)²=r² ได้ (x−2)²+(y+3)²=16 เครื่องหมายในวงเล็บกลับกันกับพิกัดของจุดศูนย์กลาง ข้อที่ข้างขวาเป็น 4 เกิดจากใส่รัศมีลงไปโดยไม่ยกกำลังสองเป็น r²

จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ได้ (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9 จุดศูนย์กลางคือ (−1,4) และรัศมีคือ √9=3 ข้อที่ให้จุดศูนย์กลาง (1,−4) เกิดจากอ่านเครื่องหมายผิด รัศมี 9 เกิดจากใช้ r² เป็นรัศมี และ √8 เกิดจากใช้พจน์คงตัว 8 เป็น r²

จุดศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของ AB ได้ (1,3) รัศมีคือระยะจากจุดศูนย์กลางถึง A เท่ากับ √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5 จึงมี r²=5 สมการคือ (x−1)²+(y−3)²=5 ข้อที่ข้างขวาเป็น 20 เกิดจากใส่กำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลางคือ AB²=20 และข้อที่เป็น √5 เกิดจากไม่ได้ยกกำลังสองเป็น r²

เขียนเส้นตรงเป็น 2x−y+5=0 ระยะจากจุดศูนย์กลาง (0,0) คือ d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5 ซึ่งเท่ากับรัศมี r=√5 จึงสัมผัสกัน จุดสำคัญคือเทียบ d กับ r ซึ่งเป็นกำลังหนึ่งทั้งคู่ จะแก้ระบบสมการแล้วตรวจว่า D=0 ก็ได้

ระยะจากจุดศูนย์กลาง (0,0) ถึง x+y−3=0 คือ d=|−3|/√2=3/√2 ซึ่งประมาณ 2.12 เนื่องจากรัศมี r=2 จึงมี d>r และไม่มีจุดร่วมเลย คือ 0 จุด ถ้าลืมหารด้วย √2 แล้วคิด d เป็น 3 ก็ได้ข้อสรุปเดียวกัน แต่ควรคำนวณให้ถูกเป็น d=3/√2 แล้วจึงเปรียบเทียบ

เส้นสัมผัสวงกลม x²+y²=r² ที่จุด (x₁,y₁) บนวงกลมคือ x₁x+y₁y=r² จึงได้ 3x+4y=25 ข้อ 4x+3y=25 เกิดจากสลับ x₁ กับ y₁ และ 3x+4y=5 เกิดจากใส่ r ไว้ข้างขวาโดยไม่ยกกำลังสอง

ตั้งเส้นสัมผัสเป็น y=m(x−3)+1 แล้วให้ระยะจากจุดศูนย์กลาง (0,0) เท่ากับ √2 จะได้ |1−3m|/√(m²+1)=√2 ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ 7m²−6m−1=0 นั่นคือ m=1, −1/7 เมื่อ m=1 จะได้ y=x−2 ส่วน y=x+2 นั้นเป็นเส้นสัมผัสของวงกลมนี้ก็จริง แต่ไม่ผ่านจุด (3,1) เพราะ 3+2=5≠1 จึงผิด

เงื่อนไขการสัมผัสคือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นตรงเท่ากับรัศมี จาก d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4 จึงได้ r=4 ข้อ 20 เกิดจากลืมหารด้วย 5 และ 2/5 เกิดจากแทน +9 ผิดเป็น −9

ระยะจากจุดศูนย์กลาง (0,0) ถึงเส้นตรง x=3 คือ d=3 ความยาวคอร์ดเท่ากับ 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8 ข้อ 4 เป็นเพียงครึ่งเดียวคือด้านเดียว และ 10 เกิดจากสับสนกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

ระยะจากจุดศูนย์กลาง (0,0) ถึง x−y+k=0 คือ d=|k|/√2 ซึ่งต้องน้อยกว่ารัศมี 2 จาก |k|<2√2 ได้ −2√2<k<2√2 ข้อ −2<k<2 เกิดจากลืมคูณด้วย √2 และถ้ารวมกรณีเท่ากับ ก็จะรวมกรณีสัมผัสซึ่งมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวเข้ามาด้วย

ให้ P(x,y) จาก AP²=BP² ได้ (x+2)²+y²=(x−4)²+y² จัดรูปได้ 12x=12 นั่นคือ x=1 ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของส่วนของเส้นตรง AB และผ่านจุดกึ่งกลาง (1,0) ตรวจได้ว่าตรงกับพิกัด x ของจุดกึ่งกลางคือ (−2+4)/2=1

จาก AP²=4PB² ได้ x²+y²=4{(x−3)²+y²} จัดรูปได้ x²+y²−8x+12=0 นั่นคือ (x−4)²+y²=4 จึงเป็นวงกลมอะพอลโลเนียสที่มีจุดศูนย์กลาง (4,0) และรัศมี 2 เมื่ออัตราส่วนไม่ใช่ 1:1 ทางเดินของจุดจะเป็นวงกลมไม่ใช่เส้นตรง

ให้ P(x,y) และ Q(s,t) จะได้ x=(s+6)/2 และ y=t/2 นั่นคือ s=2x−6 และ t=2y แทนใน s²+t²=9 ได้ (2x−6)²+4y²=9 นั่นคือ (x−3)²+y²=9/4 จึงเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (3,0) และรัศมี 3/2 ข้อที่ให้รัศมี 9/4 เกิดจากอ่าน r² เป็นรัศมี และรัศมี 3 เกิดจากลืมคูณด้วย 1/2

รูป y > f(x) หมายถึงด้านบนของเส้นโค้งหรือเส้นตรง และเนื่องจากไม่มีเครื่องหมายเท่ากับ จึงไม่รวมเส้นตรงที่เป็นเส้นขอบ ตัวอย่างเช่นจุด (0,3) ให้ 3>1 ซึ่งเป็นจริง และอยู่ด้านบนของเส้นตรงจริง

รูป x²+y² ≦ r² คือภายในวงกลม และเนื่องจากมีเครื่องหมายเท่ากับ จึงรวมเส้นรอบวงซึ่งก็คือตัววงกลมเองด้วย เมื่อแทนจุดกำเนิดจะได้ 0≦9 ซึ่งเป็นจริง จึงตัดสินได้ว่าเป็นด้านที่มีจุดกำเนิดอยู่ นั่นคือด้านใน

แทนแต่ละจุดแล้วตรวจสอบ จุด (2,1) ให้ 1≦3·2−4=2 ซึ่งเป็นจริง ส่วน (0,0) ให้ 0≦−4 ซึ่งไม่จริง จุด (1,0) ให้ 0≦−1 ซึ่งไม่จริง และ (0,3) ให้ 3≦−4 ซึ่งไม่จริง การตัดสินด้วยการแทนค่าจุดเป็นวิธีที่แน่นอนและใช้ได้กับโจทย์อาณาบริเวณทุกแบบ

อาณาบริเวณเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดยอด (0,0), (4,0) และ (0,4) พื้นที่เท่ากับ 4×4÷2 = 8 ข้อ 16 เกิดจากเข้าใจผิดว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 4 คือลืมหารด้วย 2 ควรวาดส่วนร่วมของอสมการทั้งสามก่อนแล้วจึงคำนวณ

อาณาบริเวณเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด (0,0), (3,0), (2,2) และ (0,3) เมื่อให้ x+y=k แล้วเลื่อนเส้นตรงขนานไป ค่า k จะมากที่สุดเมื่อเส้นผ่านจุดยอด (2,2) ได้ k=4 ข้อ 3 คือค่าที่จุด (3,0) หรือ (0,3) และ 6 เกิดจากตอบข้างขวาของเงื่อนไขไปเลย

ให้ 3x+4y=k ซึ่งเป็นเส้นตรง เงื่อนไขคือระยะจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรงต้องไม่เกินรัศมี 5 จึงมี |k|/√(3²+4²) ≦ 5 นั่นคือ |k| ≦ 25 ค่าสูงสุดจึงเป็น 25 ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดสัมผัส (3,4) ข้อ 35 เกิดจากคิดเป็น 5×(3+4) ข้อ 15 คือค่าที่จุด (5,0) และ 7 คือผลบวกของสัมประสิทธิ์

ให้ x+y=k เงื่อนไขที่เส้นตรง x+y−k=0 มีจุดร่วมกับวงกลมคือ |−k|/√2 ≦ 2 นั่นคือ |k| ≦ 2√2 ค่าสูงสุดจึงเป็น 2√2 ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดสัมผัส (√2,√2) ข้อ 2 คือรัศมีที่ตอบไปเลย และ 4 เกิดจากคิดผิดว่า x กับ y เป็นอิสระต่อกันและมีค่ามากที่สุดอย่างละ 2 ทั้งที่บนวงกลมไม่สามารถให้ x=y=2 พร้อมกันได้