Lycée · Maths au lycée : labo des contrôles
Les questions et les explications sont disponibles en Français. Les cours (articles explicatifs) n'existent qu'en japonais.
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Quelles sont les coordonnées du point qui partage intérieurement le segment AB dans le rapport 2:1, avec A(1,2) et B(7,5) ?
La formule du point de partage intérieur donne x=(1·1+2·7)/3=5 et y=(1·2+2·5)/3=4, soit (5,4). La réponse (3,3) vient d'avoir pris le rapport 1:2, (13,8) d'avoir calculé un point de partage extérieur, et (4,7/2) est le milieu.
Quelle est la distance entre les points A(−1,3) et B(2,−1) ?
AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5. La réponse √7 vient d'avoir pris la racine de 3+4 sans élever les différences au carré, et 25 de l'oubli de la racine finale. On élève d'abord chaque différence au carré, puis on additionne.
Quelle est l'équation de la droite de coefficient directeur 3 passant par le point (2,−1) ?
De y−(−1)=3(x−2) on tire y+1=3x−6, soit y=3x−7. La réponse y=3x−5 vient d'une erreur de signe, en écrivant y−1=3(x−2). On évite l'erreur en vérifiant que x=2 donne bien y=−1.
Quelle est l'équation de la droite passant par les points (1,2) et (3,8) ?
Le coefficient directeur vaut (8−2)/(3−1)=3. De y−2=3(x−1) on tire y=3x−1. On vérifie aussi que x=3 donne y=8. La réponse (1/3)x+5/3 vient d'avoir inversé numérateur et dénominateur du coefficient directeur, et y=3x+1 d'une erreur de signe sur l'ordonnée à l'origine.
Quelle est l'équation de la droite passant par le point (3,−1) et parallèle à la droite 2x+3y+1=0 ?
Deux droites parallèles ont les mêmes coefficients devant x et y, d'où une équation de la forme 2x+3y+c=0. En substituant (3,−1) : 6−3+c=0, donc c=−3 et l'équation est 2x+3y−3=0. La réponse 3x−2y−11=0 correspond à la droite perpendiculaire.
Quelle est l'équation de la droite passant par le point (4,1) et perpendiculaire à la droite y=2x+3 ?
Deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1 : le coefficient cherché est donc −1/2. De y−1=−(1/2)(x−4) on tire y=−(1/2)x+3. La réponse y=−2x+9 revient à changer seulement le signe, et y=(1/2)x−1 à prendre seulement l'inverse.
Quelle est la distance du point (1,2) à la droite 3x+4y−1=0 ?
d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2. La réponse 10 vient de l'oubli de la division par √(a²+b²)=5, et 12/5 d'avoir substitué +1 au lieu de −1.
Quelles sont les coordonnées du point qui partage extérieurement le segment AB dans le rapport 3:1, avec A(2,1) et B(5,7) ?
Le point de partage extérieur est ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10). La réponse (17/4, 11/2) correspond au point de partage intérieur dans le rapport 3:1, et (1/2, −2) à un partage extérieur dans le rapport 1:3. Il faut vérifier à la fois la nature du partage et l'ordre du rapport.
Quelles sont les coordonnées du centre de gravité du triangle de sommets A(2,3), B(−1,4) et C(5,−1) ?
Le centre de gravité a pour coordonnées la moyenne de celles des trois sommets : ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2). La réponse (6,6) vient d'avoir gardé les sommes sans diviser par 3, (3,3) d'avoir divisé par 2 au lieu de 3, et (2,3) d'avoir donné les coordonnées du sommet A.
Quelle est la distance entre les droites parallèles 3x−4y+2=0 et 3x−4y−8=0 ?
La distance entre deux droites parallèles ax+by+c₁=0 et ax+by+c₂=0 vaut |c₁−c₂|/√(a²+b²), soit ici |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2. On peut aussi prendre un point de la première droite, par exemple (−2/3, 0), et calculer sa distance à 3x−4y−8=0 : |−2−8|/5 = 2. La réponse 10 vient de l'oubli de la division par √(a²+b²)=5, et 6/5 d'une erreur de signe donnant |2+(−8)|.
Quelle est l'équation du cercle de centre (2,−3) et de rayon 4 ?
En reportant a=2, b=−3 et r=4 dans la forme standard (x−a)²+(y−b)²=r², on obtient (x−2)²+(y+3)²=16. Les signes dans les parenthèses sont opposés à ceux des coordonnées du centre. La réponse =4 vient d'avoir mis le rayon au second membre sans l'élever au carré.
Quels sont le centre et le rayon du cercle x²+y²+2x−8y+8=0 ?
La mise sous forme canonique donne (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9 : le centre est (−1,4) et le rayon √9=3. Le centre (1,−4) vient d'une mauvaise lecture des signes, le rayon 9 d'avoir pris r² pour le rayon, et √8 d'avoir pris le terme constant 8 pour r².
Quelle est l'équation du cercle dont le segment joignant A(−1,2) et B(3,4) est un diamètre ?
Le centre est le milieu de AB, soit (1,3). Le rayon est la distance du centre à A : √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5, donc r²=5, d'où (x−1)²+(y−3)²=5. La réponse =20 vient d'avoir mis au second membre le carré du diamètre, AB²=20, et =√5 d'avoir omis d'élever le rayon au carré.
Quelle est la position relative du cercle x²+y²=5 et de la droite y=2x+5 ?
En écrivant la droite 2x−y+5=0, la distance du centre (0,0) à cette droite vaut d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5. Elle est égale au rayon r=√5 : la droite est tangente au cercle. L'essentiel est de comparer d et r, tous deux à la puissance 1. On peut aussi résoudre le système et vérifier que le discriminant est nul.
Combien le cercle x²+y²=4 et la droite x+y=3 ont-ils de points communs ?
La distance du centre (0,0) à la droite x+y−3=0 vaut d=|−3|/√2=3/√2≈2.12. Le rayon vaut r=2 et d>r : il n'y a aucun point commun. Une erreur consistant à prendre d=3, en oubliant la division par √2, mène ici à la même conclusion, mais il faut prendre l'habitude de calculer correctement d=3/√2 avant de comparer.
Quelle est l'équation de la tangente au cercle x²+y²=25 au point (3,4) ?
La tangente au cercle x²+y²=r² au point (x₁,y₁) a pour équation x₁x+y₁y=r², soit ici 3x+4y=25. La réponse 4x+3y=25 vient d'avoir interverti x₁ et y₁, et 3x+4y=5 d'avoir laissé r au second membre au lieu de r².
Quelle est l'une des tangentes au cercle x²+y²=2 issues du point (3,1) ?
En posant la tangente sous la forme y=m(x−3)+1 et en écrivant que la distance du centre (0,0) vaut √2, on obtient |1−3m|/√(m²+1)=√2. En élevant au carré, 7m²−6m−1=0, d'où m=1 et m=−1/7. Pour m=1, la tangente est y=x−2. La droite y=x+2 est bien tangente à ce cercle, mais elle ne passe pas par (3,1), puisque 3+2=5≠1.
Quelle est la valeur du rayon r pour laquelle le cercle (x−1)²+(y−2)²=r² est tangent à la droite 3x+4y+9=0 ?
La condition de tangence est que la distance du centre à la droite soit égale au rayon. Ici d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4, donc r=4. La réponse 20 vient de l'oubli de la division par 5, et 2/5 d'avoir substitué −9 au lieu de +9.
Quelle est la longueur de la corde découpée sur le cercle x²+y²=25 par la droite x=3 ?
La distance du centre (0,0) à la droite x=3 vaut d=3. La longueur de la corde vaut 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8. La réponse 4 n'est que la moitié, c'est-à-dire un seul côté, et 10 vient d'une confusion avec le diamètre.
Pour quelles valeurs de la constante k le cercle x²+y²=4 et la droite y=x+k se coupent-ils en deux points distincts ?
Il suffit que la distance d=|k|/√2 du centre (0,0) à la droite x−y+k=0 soit strictement inférieure au rayon 2. De |k|<2√2 on tire −2√2<k<2√2. La réponse −2<k<2 vient de l'oubli du facteur √2, et prendre des inégalités larges ferait entrer le cas de tangence, où il n'y a qu'un point commun.
Quel est l'ensemble des points équidistants de A(−2,0) et de B(4,0) ?
En posant P(x,y), la condition AP²=BP² s'écrit (x+2)²+y²=(x−4)²+y². En réduisant, 12x=12, soit x=1. C'est la médiatrice du segment AB, qui passe par le milieu (1,0). On vérifie que l'abscisse du milieu, (−2+4)/2=1, coïncide bien.
Pour A(0,0) et B(3,0), quel est l'ensemble des points P vérifiant AP:PB=2:1 ?
De AP²=4PB² on tire x²+y²=4{(x−3)²+y²}. En réduisant, x²+y²−8x+12=0, soit (x−4)²+y²=4 : c'est le cercle d'Apollonius de centre (4,0) et de rayon 2. Lorsque le rapport n'est pas 1:1, l'ensemble est un cercle et non une droite.
Le point Q décrit le cercle x²+y²=9. Quel est l'ensemble décrit par le milieu P du segment AQ, où A(6,0) ?
En posant P(x,y) et Q(s,t), on a x=(s+6)/2 et y=t/2, donc s=2x−6 et t=2y. En reportant dans s²+t²=9 : (2x−6)²+4y²=9, soit (x−3)²+y²=9/4. C'est le cercle de centre (3,0) et de rayon 3/2. Le rayon 9/4 vient d'avoir lu r² comme le rayon, et le rayon 3 de l'oubli du facteur 1/2.
Quelle est la région définie par l'inéquation y > 2x+1 ?
Une inéquation y > f(x) définit la région située au-dessus de la courbe ou de la droite. L'inégalité étant stricte, la droite frontière n'est pas incluse. Par exemple le point (0,3) vérifie 3>1 et se situe bien au-dessus de la droite.
Quelle est la région définie par l'inéquation x²+y² ≦ 9 ?
Une inéquation x²+y² ≦ r² définit l'intérieur du cercle et, l'inégalité étant large, elle comprend aussi la circonférence. En substituant l'origine, 0≦9 est vrai : la région est donc celle qui contient l'origine, c'est-à-dire l'intérieur.
Quel point appartient à la région y ≦ 3x−4 ?
On teste chaque point. Pour (2,1) : 1≦3·2−4=2 est vrai. Pour (0,0) : 0≦−4 est faux ; pour (1,0) : 0≦−1 est faux ; pour (0,3) : 3≦−4 est faux. Tester les points par substitution est une méthode sûre, valable pour tous les problèmes de régions.
Quelle est l'aire de la région définie par le système d'inéquations x≧0, y≧0 et x+y≦4 ?
La région est le triangle rectangle de sommets (0,0), (4,0) et (0,4). Son aire vaut 4×4÷2 = 8. La réponse 16 vient de l'avoir prise pour un carré de côté 4, en oubliant la division par 2. Il faut représenter l'intersection des trois inéquations avant de calculer.
Si x≧0, y≧0, x+2y≦6 et 2x+y≦6, quel est le maximum de x+y ?
La région est le quadrilatère de sommets (0,0), (3,0), (2,2) et (0,3). En translatant la droite d'équation x+y=k, la valeur de k est maximale au sommet (2,2), où k=4. La réponse 3 est la valeur en (3,0) ou (0,3), et 6 reprend simplement le second membre des contraintes.
Si x²+y² ≦ 25, quel est le maximum de 3x+4y ?
En posant 3x+4y=k, on obtient une droite. Il suffit que sa distance à l'origine soit au plus égale au rayon 5 : |k|/√(3²+4²) ≦ 5, d'où |k| ≦ 25. Le maximum vaut 25, atteint au point de contact (3,4). La réponse 35 vient du calcul 5×(3+4), 15 est la valeur au point (5,0) et 7 la somme des coefficients.
Le point (x,y) décrit le cercle x²+y²=4. Quel est le maximum de x+y ?
En posant x+y=k, la droite x+y−k=0 a un point commun avec le cercle si |−k|/√2 ≦ 2, c'est-à-dire |k| ≦ 2√2. Le maximum vaut 2√2, atteint au point de contact (√2,√2). La réponse 2 est simplement le rayon, et 4 suppose à tort que x et y peuvent valoir 2 en même temps, ce qui est impossible sur ce cercle.
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