Hình học và phương trình (数学Ⅱ, tức Toán II bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Theo công thức điểm chia trong, x=(1·1+2·7)/3=5 và y=(1·2+2·5)/3=4, nên điểm cần tìm là (5,4). Điểm (3,3) là lỗi lấy nhầm tỉ số thành 1:2, (13,8) là lỗi tính điểm chia ngoài, còn (4,7/2) là trung điểm.

Ta có AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5. Kết quả √7 là lỗi không bình phương các hiệu mà lấy căn của 3+4, còn 25 là lỗi quên lấy căn ở bước cuối. Phải bình phương từng hiệu rồi mới cộng.

Từ y−(−1)=3(x−2) ta có y+1=3x−6, tức y=3x−7. Kết quả y=3x−5 là lỗi sai dấu, viết thành y−1=3(x−2). Thay x=2 để xem có ra y=−1 hay không thì sẽ tránh được lỗi này.

Hệ số góc bằng (8−2)/(3−1)=3. Từ y−2=3(x−1) ta có y=3x−1. Cũng có thể kiểm tra rằng x=3 cho y=8. Kết quả (1/3)x+5/3 là lỗi lật ngược tử và mẫu của hệ số góc, còn y=3x+1 là lỗi sai dấu của tung độ gốc.

Vì song song nên giữ nguyên các hệ số của x và y, đặt 2x+3y+c=0. Thay (3,−1) vào được 6−3+c=0, nên c=−3 và đường thẳng là 2x+3y−3=0. Đường 3x−2y−11=0 là kết quả khi đi tìm đường vuông góc.

Điều kiện vuông góc là tích hai hệ số góc bằng −1, nên hệ số góc cần tìm là −1/2. Từ y−1=−(1/2)(x−4) ta có y=−(1/2)x+3. Kết quả y=−2x+9 là lỗi chỉ đổi dấu, còn y=(1/2)x−1 là lỗi chỉ lấy nghịch đảo.

Ta có d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2. Kết quả 10 là lỗi quên chia cho √(a²+b²)=5, còn 12/5 là lỗi thay −1 thành +1.

Điểm chia ngoài là ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10). Điểm (17/4, 11/2) là lỗi tính điểm chia trong theo tỉ số 3:1, còn (1/2, −2) là lỗi chia ngoài theo tỉ số 1:3. Cần xác định rõ chia trong hay chia ngoài và thứ tự của tỉ số.

Trọng tâm là trung bình tọa độ của ba đỉnh: ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2). Điểm (6,6) là lỗi quên chia 3 và giữ nguyên tổng, (3,3) là lỗi chia cho 2 thay vì 3, còn (2,3) là lỗi chép lại tọa độ đỉnh A.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ax+by+c₁=0 và ax+by+c₂=0 bằng |c₁−c₂|/√(a²+b²), nên bằng |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2. Cũng có thể lấy một điểm trên đường thứ nhất, chẳng hạn (−2/3, 0), rồi tính khoảng cách tới 3x−4y−8=0 là |−2−8|/5 = 2. Kết quả 10 là lỗi quên chia cho √(a²+b²)=5, còn 6/5 là lỗi sai dấu khi lấy |2+(−8)|.

Thay a=2, b=−3, r=4 vào dạng chính tắc (x−a)²+(y−b)²=r² được (x−2)²+(y+3)²=16. Dấu trong ngoặc ngược với dấu của tọa độ tâm. Vế phải bằng 4 là lỗi để nguyên bán kính mà không bình phương.

Đưa về dạng bình phương được (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9, nên tâm là (−1,4) và bán kính √9=3. Tâm (1,−4) là lỗi đọc sai dấu, bán kính 9 là lỗi lấy r² làm bán kính, còn √8 là lỗi lấy số hạng tự do 8 làm r².

Tâm là trung điểm của AB, tức (1,3). Bán kính là khoảng cách từ tâm tới A: √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5, nên r²=5 và phương trình là (x−1)²+(y−3)²=5. Vế phải bằng 20 là lỗi lấy bình phương của đường kính AB, tức AB²=20, còn bằng √5 là lỗi quên bình phương bán kính.

Viết đường thẳng thành 2x−y+5=0 thì khoảng cách từ tâm (0,0) tới nó là d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5. Vì bằng đúng bán kính r=√5 nên hai hình tiếp xúc nhau. Mấu chốt là so sánh d với r, cả hai đều ở bậc một. Cũng có thể thế vào nhau và kiểm tra biệt thức D=0.

Khoảng cách từ tâm (0,0) tới đường thẳng x+y−3=0 là d=|−3|/√2=3/√2≈2.12. Vì bán kính r=2 nên d>r, do đó không có điểm chung, tức 0 điểm. Nếu quên chia cho √2 và lấy d=3 thì tình cờ vẫn ra cùng kết luận, nhưng nên tập thói quen tính đúng d=3/√2 rồi mới so sánh.

Tiếp tuyến của đường tròn x²+y²=r² tại điểm (x₁,y₁) là x₁x+y₁y=r², nên ở đây là 3x+4y=25. Phương trình 4x+3y=25 là lỗi lẫn lộn x₁ với y₁, còn 3x+4y=5 là lỗi để vế phải là r thay vì r².

Đặt tiếp tuyến là y=m(x−3)+1 rồi cho khoảng cách từ tâm (0,0) bằng √2: |1−3m|/√(m²+1)=√2. Bình phương hai vế được 7m²−6m−1=0, nên m=1 hoặc m=−1/7. Với m=1 ta có y=x−2. Đường y=x+2 tuy là tiếp tuyến của đường tròn này nhưng không đi qua điểm (3,1), vì 3+2=5≠1, nên không hợp.

Điều kiện tiếp xúc là khoảng cách từ tâm tới đường thẳng bằng bán kính. Ta có d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4, nên r=4. Kết quả 20 là lỗi quên chia cho 5, còn 2/5 là lỗi thay +9 thành −9.

Khoảng cách từ tâm (0,0) tới đường thẳng x=3 là d=3. Độ dài dây cung bằng 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8. Kết quả 4 là chỉ lấy một nửa, còn 10 là lỗi nhầm với đường kính.

Khoảng cách từ tâm (0,0) tới x−y+k=0 là d=|k|/√2, và chỉ cần nó nhỏ hơn bán kính 2. Từ |k|<2√2 suy ra −2√2<k<2√2. Kết quả −2<k<2 là lỗi quên nhân √2, còn nếu lấy dấu ≦ thì đưa cả trường hợp tiếp xúc, tức chỉ có 1 điểm chung, vào đáp án.

Đặt P(x,y) thì từ AP²=BP² ta có (x+2)²+y²=(x−4)²+y². Rút gọn được 12x=12, tức x=1. Đó là đường trung trực của đoạn AB, đi qua trung điểm (1,0). Có thể kiểm tra bằng hoành độ trung điểm (−2+4)/2=1.

Từ AP²=4PB² ta có x²+y²=4{(x−3)²+y²}. Rút gọn được x²+y²−8x+12=0, tức (x−4)²+y²=4. Đó là đường tròn Apollonius với tâm (4,0) và bán kính 2. Khi tỉ số khác 1:1 thì quỹ tích là đường tròn chứ không phải đường thẳng.

Đặt P(x,y) và Q(s,t) thì x=(s+6)/2, y=t/2, nên s=2x−6 và t=2y. Thay vào s²+t²=9 được (2x−6)²+4y²=9, tức (x−3)²+y²=9/4. Vậy quỹ tích là đường tròn tâm (3,0), bán kính 3/2. Bán kính 9/4 là lỗi đọc r² thành bán kính, còn bán kính 3 là lỗi quên hệ số 1/2.

Bất phương trình dạng y > f(x) ứng với phần phía trên đường hoặc đồ thị. Vì không có dấu bằng nên đường biên không thuộc miền. Chẳng hạn điểm (0,3) thỏa mãn 3>1 và nằm phía trên đường thẳng, xác nhận kết luận.

Bất phương trình x²+y² ≦ r² ứng với phần trong của đường tròn, và vì có dấu bằng nên lấy cả đường tròn làm biên. Thay gốc tọa độ vào được 0≦9 đúng, nên miền là phía chứa gốc tọa độ, tức phần bên trong.

Chỉ cần thay từng điểm vào để thử. Với (2,1): 1≦3·2−4=2, đúng. Với (0,0): 0≦−4, sai; với (1,0): 0≦−1, sai; với (0,3): 3≦−4, sai. Cách thay điểm để kiểm tra dùng được cho mọi bài toán về miền và luôn cho kết quả chắc chắn.

Miền là tam giác vuông với ba đỉnh (0,0), (4,0), (0,4), nên diện tích bằng 4×4÷2 = 8. Kết quả 16 là lỗi coi miền là hình vuông cạnh 4, tức quên chia 2. Hãy vẽ phần chung của ba bất phương trình rồi mới tính.

Miền là tứ giác với các đỉnh (0,0), (3,0), (2,2), (0,3). Tịnh tiến đường thẳng x+y=k thì k lớn nhất khi đường đi qua đỉnh (2,2), cho k=4. Số 3 là giá trị tại (3,0) hoặc (0,3), còn 6 là lỗi chép lại vế phải của ràng buộc.

Đặt 3x+4y=k thì đó là một đường thẳng, và chỉ cần khoảng cách từ gốc tọa độ tới nó không vượt quá bán kính 5: |k|/√(3²+4²) ≦ 5, tức |k| ≦ 25. Vậy giá trị lớn nhất là 25, đạt tại tiếp điểm (3,4). Kết quả 35 là lỗi tính 5×(3+4), 15 là giá trị tại điểm (5,0), còn 7 là tổng hai hệ số.

Đặt x+y=k thì điều kiện để đường thẳng x+y−k=0 có điểm chung với đường tròn là |−k|/√2 ≦ 2, tức |k| ≦ 2√2. Vậy giá trị lớn nhất là 2√2, đạt tại tiếp điểm (√2,√2). Số 2 là chép lại bán kính, còn 4 là lỗi cho rằng x và y độc lập cùng đạt 2, trong khi trên đường tròn không thể có đồng thời x=y=2.