Bangun Datar dan Persamaannya

Dengan rumus titik pembagi dalam, x=(1·1+2·7)/3=5 dan y=(1·2+2·5)/3=4, sehingga titiknya (5,4). Jawaban (3,3) muncul karena perbandingannya tertukar menjadi 1:2, (13,8) karena yang dihitung titik pembagi luar, dan (4,7/2) adalah titik tengahnya.

AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5. Nilai √7 muncul karena selisihnya tidak dikuadratkan lalu diakarkan sebagai 3+4, sedangkan 25 muncul karena lupa menarik akar di akhir. Kuadratkan masing-masing selisihnya lebih dulu, baru dijumlahkan.

Dari y−(−1)=3(x−2) diperoleh y+1=3x−6 sehingga y=3x−7. Bentuk y=3x−5 adalah kesalahan tanda karena ditulis y−1=3(x−2). Hal ini dapat dicegah dengan memeriksa apakah substitusi x=2 menghasilkan y=−1.

Gradiennya=(8−2)/(3−1)=3. Dari y−2=3(x−1) diperoleh y=3x−1. Dapat pula diperiksa bahwa x=3 memberi y=8. Bentuk (1/3)x+5/3 muncul karena pembilang dan penyebut gradiennya terbalik, sedangkan y=3x+1 adalah kesalahan tanda pada perpotongan sumbunya.

Karena sejajar, koefisien x dan y tetap sehingga dapat dimisalkan 2x+3y+c=0. Substitusi (3,−1) memberi 6−3+c=0 sehingga c=−3, jadi garisnya 2x+3y−3=0. Bentuk 3x−2y−11=0 adalah kesalahan karena yang dicari justru garis yang tegak lurus.

Syarat tegak lurus adalah hasil kali gradiennya −1, sehingga gradien yang dicari −1/2. Dari y−1=−(1/2)(x−4) diperoleh y=−(1/2)x+3. Bentuk y=−2x+9 adalah kesalahan karena hanya tandanya yang diubah, sedangkan y=(1/2)x−1 karena hanya dijadikan kebalikannya.

d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2. Nilai 10 muncul karena lupa membagi dengan √(a²+b²)=5, sedangkan 12/5 muncul karena tanda pada −1 disubstitusikan sebagai +1.

Titik pembagi luarnya ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10). Jawaban (17/4, 11/2) muncul karena yang dicari titik pembagi dalam 3:1, sedangkan (1/2, −2) karena dibagi luar dengan perbandingan 1:3. Periksa jenis pembagiannya dan urutan perbandingannya.

Titik berat adalah rata-rata koordinat ketiga titik sudut: ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2). Jawaban (6,6) muncul karena lupa membagi 3 sehingga hanya jumlahnya, (3,3) karena dibagi 2 dan bukan 3, dan (2,3) karena koordinat titik A langsung dijawab.

Jarak dua garis sejajar ax+by+c₁=0 dan ax+by+c₂=0 adalah |c₁−c₂|/√(a²+b²), sehingga |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2. Sama saja bila dihitung dari sebuah titik pada salah satu garis, misalnya (−2/3, 0), ke garis 3x−4y−8=0, yaitu |−2−8|/5 = 2. Nilai 10 muncul karena lupa membagi dengan √(a²+b²)=5, sedangkan 6/5 karena tandanya keliru menjadi |2+(−8)|.

Substitusikan a=2, b=−3, r=4 ke bentuk baku (x−a)²+(y−b)²=r² sehingga diperoleh (x−2)²+(y+3)²=16. Tanda di dalam kurung berlawanan dengan koordinat pusatnya. Ruas kanan =4 adalah kesalahan karena jari-jarinya langsung dipakai tanpa dikuadratkan menjadi r².

Setelah dilengkapkan kuadratnya diperoleh (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9, sehingga pusatnya (−1,4) dan jari-jarinya √9=3. Pusat (1,−4) adalah salah membaca tanda, jari-jari 9 adalah kesalahan karena r² dianggap jari-jari, dan √8 karena suku konstan 8 langsung dianggap r².

Pusatnya adalah titik tengah AB, yaitu (1,3). Jari-jarinya adalah jarak dari pusat ke A, yaitu √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5, sehingga r²=5 dan persamaannya (x−1)²+(y−3)²=5. Ruas kanan =20 adalah kesalahan karena kuadrat diameter AB (AB²=20) yang dipakai, sedangkan =√5 karena belum dijadikan r².

Tulis garisnya sebagai 2x−y+5=0; jarak dari pusat (0,0) adalah d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5. Karena sama dengan jari-jari r=√5, keduanya bersinggungan. Intinya adalah membandingkan d dengan r (keduanya berpangkat satu). Dapat pula diperiksa dengan mengeliminasi dan menunjukkan diskriminan D=0.

Jarak dari pusat (0,0) ke x+y−3=0 adalah d=|−3|/√2=3/√2≈2.12. Karena jari-jarinya r=2, maka d>r sehingga tidak ada titik persekutuan (0 titik). Bila d keliru dianggap 3 (lupa dibagi √2) kesimpulannya memang sama, tetapi biasakanlah menghitung d=3/√2 dengan benar lalu membandingkannya.

Garis singgung lingkaran x²+y²=r² di titik (x₁,y₁) adalah x₁x+y₁y=r², sehingga persamaannya 3x+4y=25. Bentuk 4x+3y=25 adalah kesalahan karena x₁ dan y₁ tertukar, sedangkan 3x+4y=5 karena ruas kanannya dibiarkan sebagai r.

Misalkan garis singgungnya y=m(x−3)+1; dengan syarat jarak dari pusat (0,0) sama dengan √2 diperoleh |1−3m|/√(m²+1)=√2. Kuadratkan kedua ruas sehingga 7m²−6m−1=0, jadi m=1, −1/7. Untuk m=1 garisnya y=x−2. Bentuk y=x+2 memang menyinggung lingkaran ini tetapi tidak melalui titik (3,1) (karena 3+2=5≠1) sehingga keliru.

Syarat bersinggungan adalah jarak dari pusat ke garis sama dengan jari-jari. Dari d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4 diperoleh r=4. Nilai 20 muncul karena lupa membagi dengan 5, sedangkan 2/5 karena +9 disubstitusikan sebagai −9.

Jarak dari pusat (0,0) ke garis x=3 adalah d=3. Panjang tali busurnya = 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8. Nilai 4 adalah kesalahan karena hanya separuhnya (satu sisi saja), sedangkan 10 karena tertukar dengan diameter.

Jarak antara x−y+k=0 dan pusat (0,0), yaitu d=|k|/√2, cukup lebih kecil daripada jari-jari 2. Dari |k|<2√2 diperoleh −2√2<k<2√2. Bentuk −2<k<2 adalah kesalahan karena lupa mengalikan √2, sedangkan bila tanda sama dengan disertakan, keadaan bersinggungan (1 titik persekutuan) ikut termuat.

Dengan memisalkan P(x,y), dari AP²=BP² diperoleh (x+2)²+y²=(x−4)²+y². Setelah dirapikan, 12x=12 sehingga x=1. Itulah garis sumbu ruas garis AB, yang melalui titik tengahnya (1,0). Dapat diperiksa bahwa nilainya cocok dengan absis titik tengah (−2+4)/2=1.

Dari AP²=4PB² diperoleh x²+y²=4{(x−3)²+y²}. Setelah dirapikan, x²+y²−8x+12=0, yaitu (x−4)²+y²=4, sehingga berupa lingkaran Apollonius berpusat (4,0) dengan jari-jari 2. Bila perbandingannya bukan 1:1, tempat kedudukannya berupa lingkaran, bukan garis.

Dengan P(x,y) dan Q(s,t), dari x=(s+6)/2 dan y=t/2 diperoleh s=2x−6 dan t=2y. Substitusikan ke s²+t²=9 sehingga (2x−6)²+4y²=9, yaitu (x−3)²+y²=9/4, berupa lingkaran berpusat (3,0) dengan jari-jari 3/2. Jari-jari 9/4 adalah kesalahan karena r² dibaca sebagai jari-jari, sedangkan jari-jari 3 karena faktor 1/2 terlupakan.

Bentuk y > f(x) menyatakan bagian di atas kurva atau garisnya. Karena tidak disertai tanda sama dengan, garis batasnya tidak termasuk. Misalnya titik (0,3) memenuhi 3>1, dan dari situ terlihat bahwa titik itu berada di atas garisnya.

Bentuk x²+y² ≦ r² menyatakan bagian dalam lingkaran, dan karena disertai tanda sama dengan, keliling lingkarannya sendiri ikut termasuk. Substitusi titik asal memberi 0≦9 yang terpenuhi, sehingga dapat disimpulkan bahwa sisi yang memuat titik asal, yaitu bagian dalam, itulah daerahnya.

Periksalah dengan menyubstitusikan tiap titik. Untuk (2,1): 1≦3·2−4=2 terpenuhi. Untuk (0,0): 0≦−4 tidak terpenuhi; untuk (1,0): 0≦−1 tidak terpenuhi; untuk (0,3): 3≦−4 tidak terpenuhi. Pemeriksaan lewat substitusi titik adalah cara pasti yang dapat dipakai pada soal daerah mana pun.

Daerahnya berupa segitiga siku-siku dengan titik sudut (0,0), (4,0), dan (0,4). Luasnya = 4×4÷2 = 8. Nilai 16 adalah kesalahan karena dianggap persegi bersisi 4 (lupa ÷2). Gambarkan lebih dulu irisan ketiga pertidaksamaannya, baru dihitung.

Daerahnya berupa segi empat dengan titik sudut (0,0), (3,0), (2,2), dan (0,3). Bila garis x+y=k digeser sejajar, nilai k menjadi maksimum ketika garisnya melalui titik sudut (2,2), yaitu k=4. Nilai 3 adalah nilai di (3,0) atau (0,3), sedangkan 6 adalah kesalahan karena ruas kanan kendalanya langsung dijawab.

Dengan memisalkan 3x+4y=k diperoleh sebuah garis. Cukup bila jarak dari titik asal ke garis itu tidak melebihi jari-jari 5, sehingga |k|/√(3²+4²) ≦ 5 memberi |k| ≦ 25. Nilai maksimumnya 25 (tercapai di titik singgung (3,4)). Nilai 35 adalah kesalahan karena dihitung 5×(3+4), 15 adalah nilai di titik (5,0), dan 7 adalah jumlah koefisiennya.

Dengan memisalkan x+y=k, syarat agar garis x+y−k=0 memiliki titik persekutuan dengan lingkaran adalah |−k|/√2 ≦ 2, yaitu |k| ≦ 2√2. Nilai maksimumnya 2√2 (tercapai di titik singgung (√2,√2)). Nilai 2 hanyalah jari-jarinya, sedangkan 4 keliru karena dianggap x dan y masing-masing dapat mencapai 2 secara bebas (padahal pada lingkaran itu x=y=2 tidak mungkin terjadi bersamaan).