Figuras e equações (Matemática II)

A fórmula do ponto de divisão interna dá x=(1·1+2·7)/3=5 e y=(1·2+2·5)/3=4, então o ponto é (5,4). A alternativa (3,3) toma a razão como 1:2, (13,8) calcula um ponto de divisão externa, e (4,7/2) é o ponto médio.

AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5. A alternativa √7 tira a raiz quadrada de 3+4 sem elevar as diferenças ao quadrado, e 25 esquece a raiz quadrada final. Eleve cada diferença ao quadrado primeiro e depois some.

De y−(−1)=3(x−2), obtém-se y+1=3x−6, então y=3x−7. A alternativa y=3x−5 vem do erro de sinal y−1=3(x−2). Substituir x=2 para verificar que y=−1 evita esse erro.

O coeficiente angular é (8−2)/(3−1)=3. De y−2=3(x−1), obtém-se y=3x−1. Você também pode verificar que x=3 dá y=8. A alternativa (1/3)x+5/3 inverte a fração do coeficiente angular, e y=3x+1 tem o sinal errado no coeficiente linear.

Para uma reta paralela, os coeficientes de x e y continuam os mesmos, então escreva 2x+3y+c=0. Substituindo (3,−1), obtém-se 6−3+c=0, então c=−3 e a reta é 2x+3y−3=0. A alternativa 3x−2y−11=0 é, na verdade, a reta perpendicular.

Perpendicularidade significa que o produto dos coeficientes angulares é −1, então o coeficiente angular procurado é −1/2. De y−1=−(1/2)(x−4), obtém-se y=−(1/2)x+3. A alternativa y=−2x+9 só troca o sinal, e y=(1/2)x−1 só toma o inverso.

d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2. A alternativa 10 esquece de dividir por √(a²+b²)=5, e 12/5 substitui a constante como +1 em vez de −1.

O ponto de divisão externa é ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10). A alternativa (17/4, 11/2) é o ponto de divisão interna na razão 3:1, e (1/2, −2) divide externamente na razão 1:3. Confira tanto o tipo de divisão quanto a ordem da razão.

O baricentro é a média dos três vértices: ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2). A alternativa (6,6) dá as somas sem dividir por 3, (3,3) divide por 2 em vez de 3, e (2,3) simplesmente repete o vértice A.

Para as retas paralelas ax+by+c₁=0 e ax+by+c₂=0, a distância é |c₁−c₂|/√(a²+b²), então ela é |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2. De modo equivalente, a distância de um ponto de uma das retas, por exemplo (−2/3, 0), à outra reta 3x−4y−8=0 é |−2−8|/5 = 2. A alternativa 10 esquece de dividir por √(a²+b²)=5, e 6/5 erra o sinal, como |2+(−8)|.

Substituindo a=2, b=−3 e r=4 na forma reduzida (x−a)²+(y−b)²=r², obtém-se (x−2)²+(y+3)²=16. Os sinais dentro dos parênteses são opostos às coordenadas do centro. A alternativa com =4 coloca o raio no lado direito sem elevá-lo ao quadrado.

Completando quadrados, obtém-se (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9, então o centro é (−1,4) e o raio é √9=3. O centro (1,−4) lê os sinais de forma errada, o raio 9 toma r² como se fosse o raio, e √8 toma o termo independente 8 como r².

O centro é o ponto médio de AB, ou seja, (1,3). O raio é a distância do centro a A, √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5, então r²=5 e a circunferência é (x−1)²+(y−3)²=5. A alternativa =20 coloca no lado direito o quadrado do diâmetro, AB²=20, e =√5 não eleva o raio ao quadrado.

Escreva a reta como 2x−y+5=0; a distância ao centro (0,0) é d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5. Isso é igual ao raio r=√5, então são tangentes. O ponto principal é comparar d com r, ambos na primeira potência. Você também pode resolver o sistema e verificar que o discriminante é D=0.

A distância do centro (0,0) a x+y−3=0 é d=|−3|/√2=3/√2≈2.12. Como o raio é r=2, temos d>r, então não há ponto em comum. Tomar d como 3, esquecendo de dividir por √2, leva à mesma conclusão aqui, mas é importante calcular corretamente d=3/√2 antes de comparar.

A tangente a x²+y²=r² no ponto (x₁,y₁) é x₁x+y₁y=r², então ela é 3x+4y=25. A alternativa 4x+3y=25 troca x₁ e y₁, e 3x+4y=5 deixa r no lado direito em vez de r².

Escreva a tangente como y=m(x−3)+1 e iguale a distância do centro (0,0) a √2: |1−3m|/√(m²+1)=√2. Elevando ao quadrado, obtém-se 7m²−6m−1=0, então m=1 ou −1/7. Com m=1, a reta é y=x−2. A reta y=x+2 de fato é tangente a essa circunferência, mas não passa por (3,1), pois 3+2=5≠1, então está errada.

Tangência significa que a distância do centro à reta é igual ao raio. Aqui d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4, então r=4. A alternativa 20 esquece de dividir por 5, e 2/5 substitui −9 em vez de +9.

A distância do centro (0,0) à reta x=3 é d=3. O comprimento da corda é 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8. A alternativa 4 dá apenas a metade, um lado da corda, e 10 confunde com o diâmetro.

A distância do centro (0,0) a x−y+k=0 é d=|k|/√2, e ela deve ser menor que o raio 2. De |k|<2√2, obtém-se −2√2<k<2√2. A alternativa −2<k<2 esquece de multiplicar por √2, e incluir as igualdades admitiria também o caso de tangência, com apenas um ponto em comum.

Escrevendo P(x,y), a condição AP²=BP² dá (x+2)²+y²=(x−4)²+y². Reorganizando, obtém-se 12x=12, então x=1. Essa é a mediatriz do segmento AB e passa pelo seu ponto médio (1,0). Você pode verificar que coincide com a coordenada x do ponto médio, (−2+4)/2=1.

De AP²=4PB², obtém-se x²+y²=4{(x−3)²+y²}. Reorganizando, obtém-se x²+y²−8x+12=0, isto é, (x−4)²+y²=4, a circunferência de Apolônio de centro (4,0) e raio 2. Quando a razão não é 1:1, o lugar geométrico é uma circunferência, e não uma reta.

Escrevendo P(x,y) e Q(s,t), temos x=(s+6)/2 e y=t/2, então s=2x−6 e t=2y. Substituindo em s²+t²=9, obtém-se (2x−6)²+4y²=9, isto é, (x−3)²+y²=9/4, a circunferência de centro (3,0) e raio 3/2. O raio 9/4 lê r² como se fosse o raio, e o raio 3 esquece o fator de um meio.

A condição y > f(x) significa a região acima da curva ou da reta. Como não há igualdade, a reta de fronteira não está incluída. Por exemplo, o ponto (0,3) satisfaz 3>1 e fica acima da reta, o que confirma isso.

A condição x²+y² ≦ r² é o interior da circunferência e, como a igualdade é permitida, a própria circunferência de fronteira está incluída. Substituindo a origem, obtém-se 0≦9, que é verdadeiro, então a região é o lado que contém a origem, isto é, o interior.

Teste cada ponto por substituição. Para (2,1): 1≦3·2−4=2 é verdadeiro. Para (0,0): 0≦−4 é falso; para (1,0): 0≦−1 é falso; para (0,3): 3≦−4 é falso. Testar pontos por substituição é um método confiável que funciona em qualquer problema de regiões.

A região é o triângulo retângulo de vértices (0,0), (4,0) e (0,4). Sua área é 4×4÷2 = 8. A alternativa 16 trata a região como um quadrado de lado 4, esquecendo a divisão por 2. Esboce a parte comum das três inequações antes de calcular.

A região é o quadrilátero de vértices (0,0), (3,0), (2,2) e (0,3). Deslizando a reta x+y=k, o valor de k é máximo quando ela passa pelo vértice (2,2), o que dá k=4. A alternativa 3 é o valor em (3,0) ou (0,3), e 6 simplesmente repete o lado direito de uma das restrições.

Fazendo 3x+4y=k, obtém-se uma reta. Basta que a distância da origem à reta seja no máximo o raio 5, então |k|/√(3²+4²) ≦ 5, isto é, |k| ≦ 25. O máximo é 25, atingido no ponto de tangência (3,4). A alternativa 35 vem de 5×(3+4), 15 é o valor em (5,0), e 7 é a soma dos coeficientes.

Fazendo x+y=k, a reta x+y−k=0 intercepta a circunferência quando |−k|/√2 ≦ 2, isto é, |k| ≦ 2√2. O máximo é 2√2, atingido no ponto de tangência (√2,√2). A alternativa 2 simplesmente repete o raio, e 4 supõe erroneamente que x e y podem chegar a 2 cada um de forma independente, o que é impossível sobre a circunferência.