Figuras y ecuaciones (Matemáticas II)

La fórmula del punto de división interna da x=(1·1+2·7)/3=5 e y=(1·2+2·5)/3=4, así que el punto es (5,4). La opción (3,3) toma la razón como 1:2, (13,8) calcula un punto de división externa, y (4,7/2) es el punto medio.

AB=√((2−(−1))²+(−1−3)²)=√(9+16)=√25=5. La opción √7 saca la raíz cuadrada de 3+4 sin elevar al cuadrado las diferencias, y 25 olvida la raíz cuadrada final. Eleve primero al cuadrado cada diferencia y luego sume.

De y−(−1)=3(x−2) se obtiene y+1=3x−6, así que y=3x−7. La opción y=3x−5 sale del error de signo y−1=3(x−2). Sustituir x=2 para comprobar que y=−1 evita este error.

La pendiente es (8−2)/(3−1)=3. De y−2=3(x−1) se obtiene y=3x−1. También puede comprobar que x=3 da y=8. La opción (1/3)x+5/3 invierte la fracción de la pendiente, e y=3x+1 tiene el signo equivocado en la ordenada al origen.

Para una recta paralela, los coeficientes de x e y no cambian, así que se escribe 2x+3y+c=0. Al sustituir (3,−1) se obtiene 6−3+c=0, así que c=−3 y la recta es 2x+3y−3=0. La opción 3x−2y−11=0 es, en cambio, la recta perpendicular.

La perpendicularidad significa que el producto de las pendientes es −1, así que la pendiente buscada es −1/2. De y−1=−(1/2)(x−4) se obtiene y=−(1/2)x+3. La opción y=−2x+9 solo cambia el signo, e y=(1/2)x−1 solo toma el recíproco.

d=|3·1+4·2−1|/√(3²+4²)=|10|/5=2. La opción 10 olvida dividir entre √(a²+b²)=5, y 12/5 sustituye la constante como +1 en lugar de −1.

El punto de división externa es ((−1·2+3·5)/(3−1), (−1·1+3·7)/(3−1)) = (13/2, 10). La opción (17/4, 11/2) es el punto de división interna en la razón 3:1, y (1/2, −2) divide externamente en la razón 1:3. Compruebe tanto el tipo de división como el orden de la razón.

El baricentro es el promedio de los tres vértices: ((2−1+5)/3, (3+4−1)/3) = (6/3, 6/3) = (2,2). La opción (6,6) da las sumas sin dividir entre 3, (3,3) divide entre 2 en lugar de 3, y (2,3) simplemente repite el vértice A.

Para las rectas paralelas ax+by+c₁=0 y ax+by+c₂=0, la distancia es |c₁−c₂|/√(a²+b²), así que es |2−(−8)|/√(3²+(−4)²) = 10/5 = 2. De forma equivalente, la distancia de un punto de una recta, por ejemplo (−2/3, 0), a la otra recta 3x−4y−8=0 es |−2−8|/5 = 2. La opción 10 olvida dividir entre √(a²+b²)=5, y 6/5 trata mal el signo, como |2+(−8)|.

Al sustituir a=2, b=−3 y r=4 en la forma estándar (x−a)²+(y−b)²=r² se obtiene (x−2)²+(y+3)²=16. Los signos dentro de los paréntesis son opuestos a las coordenadas del centro. La opción con =4 pone el radio en el lado derecho sin elevarlo al cuadrado.

Al completar el cuadrado se obtiene (x+1)²+(y−4)² = −8+1+16 = 9, así que el centro es (−1,4) y el radio es √9=3. El centro (1,−4) lee mal los signos, el radio 9 da r² como si fuera el radio, y √8 toma el término independiente 8 como r².

El centro es el punto medio de AB, es decir, (1,3). El radio es la distancia del centro a A, √((1−(−1))²+(3−2)²)=√5, así que r²=5 y la circunferencia es (x−1)²+(y−3)²=5. La opción =20 pone en el lado derecho el cuadrado del diámetro, AB²=20, y =√5 no eleva el radio al cuadrado.

Escriba la recta como 2x−y+5=0; la distancia desde el centro (0,0) es d=|5|/√(4+1)=5/√5=√5. Esto es igual al radio r=√5, así que son tangentes. La clave es comparar d con r, ambos a la primera potencia. También puede resolver el sistema y comprobar que el discriminante es D=0.

La distancia del centro (0,0) a x+y−3=0 es d=|−3|/√2=3/√2≈2.12. Como el radio es r=2, se tiene d>r, así que no hay ningún punto común. Tomar d como 3 por olvidar dividir entre √2 lleva aquí a la misma conclusión, pero es importante calcular correctamente d=3/√2 antes de comparar.

La tangente a x²+y²=r² en el punto (x₁,y₁) es x₁x+y₁y=r², así que es 3x+4y=25. La opción 4x+3y=25 intercambia x₁ e y₁, y 3x+4y=5 deja r en el lado derecho en lugar de r².

Escriba la tangente como y=m(x−3)+1 e iguale a √2 la distancia desde el centro (0,0): |1−3m|/√(m²+1)=√2. Al elevar al cuadrado se obtiene 7m²−6m−1=0, así que m=1 o −1/7. Con m=1 la recta es y=x−2. La recta y=x+2 sí es tangente a esta circunferencia, pero no pasa por (3,1), ya que 3+2=5≠1, así que es incorrecta.

La tangencia significa que la distancia del centro a la recta es igual al radio. Aquí d=|3·1+4·2+9|/√(3²+4²)=|20|/5=4, así que r=4. La opción 20 olvida dividir entre 5, y 2/5 sustituye −9 en lugar de +9.

La distancia del centro (0,0) a la recta x=3 es d=3. La longitud de la cuerda es 2√(r²−d²) = 2√(25−9) = 2×4 = 8. La opción 4 da solo la mitad, un lado de la cuerda, y 10 la confunde con el diámetro.

La distancia del centro (0,0) a x−y+k=0 es d=|k|/√2, y debe ser menor que el radio 2. De |k|<2√2 se obtiene −2√2<k<2√2. La opción −2<k<2 olvida multiplicar por √2, e incluir las igualdades admitiría también el caso tangente, con un solo punto común.

Si se escribe P(x,y), la condición AP²=BP² da (x+2)²+y²=(x−4)²+y². Al reordenar se obtiene 12x=12, así que x=1. Es la mediatriz del segmento AB y pasa por su punto medio (1,0). Puede comprobar que coincide con la coordenada x del punto medio, (−2+4)/2=1.

De AP²=4PB² se obtiene x²+y²=4{(x−3)²+y²}. Al reordenar se obtiene x²+y²−8x+12=0, es decir, (x−4)²+y²=4, la circunferencia de Apolonio con centro (4,0) y radio 2. Cuando la razón no es 1:1, el lugar geométrico es una circunferencia y no una recta.

Si se escribe P(x,y) y Q(s,t), se tiene x=(s+6)/2 e y=t/2, así que s=2x−6 y t=2y. Al sustituir en s²+t²=9 se obtiene (2x−6)²+4y²=9, es decir, (x−3)²+y²=9/4, la circunferencia con centro (3,0) y radio 3/2. El radio 9/4 toma r² como si fuera el radio, y el radio 3 olvida el factor un medio.

La condición y > f(x) significa la región por encima de la curva o recta. Como no hay igualdad, la recta frontera no se incluye. Por ejemplo, el punto (0,3) satisface 3>1 y está por encima de la recta, lo que lo confirma.

La condición x²+y² ≦ r² es el interior de la circunferencia y, como se permite la igualdad, se incluye la propia circunferencia frontera. Al sustituir el origen se obtiene 0≦9, que se cumple, así que la región es el lado que contiene el origen, es decir, el interior.

Compruebe cada punto por sustitución. Para (2,1): 1≦3·2−4=2 se cumple. Para (0,0): 0≦−4 no se cumple; para (1,0): 0≦−1 no se cumple; para (0,3): 3≦−4 no se cumple. Comprobar puntos por sustitución es un método fiable que sirve para cualquier problema de regiones.

La región es el triángulo rectángulo con vértices (0,0), (4,0) y (0,4). Su área es 4×4÷2 = 8. La opción 16 lo trata como un cuadrado de lado 4 y olvida dividir entre 2. Dibuje la parte común de las tres inecuaciones antes de calcular.

La región es el cuadrilátero con vértices (0,0), (3,0), (2,2) y (0,3). Al desplazar la recta x+y=k, el valor de k es máximo cuando pasa por el vértice (2,2), lo que da k=4. La opción 3 es el valor en (3,0) o (0,3), y 6 simplemente repite el lado derecho de una restricción.

Al poner 3x+4y=k se obtiene una recta. Basta con que la distancia del origen a la recta sea como máximo el radio 5, así que |k|/√(3²+4²) ≦ 5, es decir, |k| ≦ 25. El máximo es 25, que se alcanza en el punto de tangencia (3,4). La opción 35 sale de 5×(3+4), 15 es el valor en (5,0), y 7 es la suma de los coeficientes.

Al poner x+y=k, la recta x+y−k=0 corta la circunferencia cuando |−k|/√2 ≦ 2, es decir, |k| ≦ 2√2. El máximo es 2√2, que se alcanza en el punto de tangencia (√2,√2). La opción 2 simplemente repite el radio, y 4 supone erróneamente que x e y pueden llegar cada uno a 2 de forma independiente, lo cual es imposible sobre la circunferencia.