เซตและการอ่านตาราง

การคำนวณ 25+18 จะนับคนที่ชอบทั้งสองวิชา 10 คนซ้ำสองครั้ง จึงต้องลบออกหนึ่งชุด ได้ 25+18−10=33 คน ส่วน 43 คน เกิดจากการบวกเฉย ๆ โดยลืมลบ 10 คนออก ซึ่งรู้ได้ทันทีว่าผิดเพราะเกินจำนวนนักเรียน 40 คนในห้อง ส่วน 15 คน คือจำนวนคนที่ชอบเฉพาะคณิตศาสตร์ และ 7 คน คือจำนวนคนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชา

คนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งอย่างคือ 30+22−14=38 คน จึงได้ 50−38=12 คน ส่วน 38 คน คือการตอบตัวจำนวนคนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งอย่างไปเลย ส่วน 16 คน คือจำนวนคนที่ใช้เฉพาะรถบัสซึ่งได้จาก 30−14 และ 8 คน คือจำนวนคนที่ใช้เฉพาะรถไฟซึ่งได้จาก 22−14 ทั้งสองข้อจึงเป็นการสับสนกลุ่มที่โจทย์ถาม

ใน 35 คนของ A มีคนที่สอบผ่านทั้งสองอย่าง 12 คนรวมอยู่ด้วย จึงได้ 35−12=23 คน ส่วน 35 คน คือการตอบจำนวนผู้สอบผ่าน A ทั้งหมดไปเลย ส่วน 16 คน คือจำนวนคนที่สอบผ่านเฉพาะ B ซึ่งได้จาก 28−12 และ 51 คน คือจำนวนคนที่สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งอย่างซึ่งได้จาก 35+28−12

ผู้ที่ตอบถูกอย่างน้อยหนึ่งข้อคือ 60−5=55 คน ผู้ที่ตอบถูกทั้งสองข้อจึงเป็น 35+28−55=8 คน ส่วน 3 คน เกิดจากการคำนวณ 35+28−60 โดยใช้จำนวนคนทั้งหมดตรง ๆ ซึ่งลืมหักผู้ที่ตอบผิดทั้งสองข้อ 5 คนออกก่อน ส่วน 27 คน คือจำนวนคนที่ตอบถูกเฉพาะข้อ A และ 20 คน คือจำนวนคนที่ตอบถูกเฉพาะข้อ B

คนที่ใช้เฉพาะ B คือ 80−18−27−20=15 คน คนที่ใช้ B จึงเท่ากับจำนวนนี้บวกกับคนที่ใช้ทั้งสองชนิด 18 คน ได้ 15+18=33 คน ส่วน 15 คน คือจำนวนคนที่ใช้เฉพาะ B ซึ่งลืมบวกส่วนที่ใช้ทั้งสองชนิด ส่วน 45 คน คือจำนวนคนที่ใช้ A ซึ่งได้จาก 27+18 และ 60 คน คือจำนวนคนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งชนิดซึ่งได้จาก 80−20

อัตราส่วนของคนที่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งอย่างคือ 60+45−25=80% ซึ่งเท่ากับ 160 คน จึงได้ 200−160=40 คน ส่วน 160 คน คือตัวจำนวนคนที่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งอย่างเอง ส่วน 70 คน คือจำนวนคนที่รู้จักเฉพาะ A ซึ่งได้จาก 200×0.35 และ 50 คน คือจำนวนคนที่รู้จักทั้งสองอย่างซึ่งได้จาก 200×0.25

เนื่องจาก 70+60=130 ซึ่งเกินจำนวนคน 100 คน จึงต้องมีส่วนซ้อนกันอย่างน้อย 130−100=30 คน และเมื่อลองจัดจริงเป็นตอบใช่ทั้งสองคำถาม 30 คน ตอบใช่เฉพาะคำถามที่ 1 จำนวน 40 คน ตอบใช่เฉพาะคำถามที่ 2 จำนวน 30 คน และไม่ตอบใช่เลย 0 คน ก็ยังสอดคล้องกับเงื่อนไข ค่าน้อยที่สุดจึงเป็น 30 คน ส่วน 0 คน เกิดจากการคิดถึงกรณีที่ไม่มีส่วนซ้อนเลย ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะยัด 130 คนลงใน 100 คนไม่ได้ ส่วน 10 คน คือผลต่างของ 70−60 และ 60 คน คือค่าสูงสุดของส่วนซ้อน

หากคนที่ตอบแบบสอบถามทั้ง 75 คนรับแผ่นพับไปด้วยทุกคน ส่วนซ้อนก็จะมากที่สุด นั่นคือ 75 คน และเมื่อลองจัดจริงเป็นทำทั้งสองอย่าง 75 คน รับแผ่นพับอย่างเดียว 15 คน และไม่ทำทั้งสองอย่าง 30 คน ก็จัดได้จริง ส่วน 90 คน คือการตอบจำนวนที่มากกว่าไปเลย ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะผู้ตอบแบบสอบถามมีเพียง 75 คน ส่วน 45 คน คือ 90+75−120 ซึ่งเป็นค่าน้อยที่สุดต่างหาก และ 30 คน คือ 120−90

คำนวณได้ 40+35−12=63% แล้ว 300×0.63=189 คน ส่วน 225 คน เกิดจากการคิดเป็น 40+35=75% โดยลืมลบส่วนซ้อนออก ส่วน 111 คน คือจำนวนสมาชิกที่ไม่ได้ใช้ทั้งสองบริการซึ่งได้จาก 300×0.37 และ 36 คน คือจำนวนสมาชิกที่ใช้ทั้งสองบริการ

เมื่อเอาคนที่เข้าร่วมช่วงบ่าย 30 คน ออกจากคนที่เข้าร่วมอย่างน้อยช่วงใดช่วงหนึ่ง 48 คน ส่วนที่เหลือก็คือคนที่เข้าร่วมเฉพาะช่วงเช้า ได้ 48−30=18 คน ส่วน 7 คน เกิดจากการลบส่วนของคนที่เข้าร่วมทั้งสองช่วงเกินไปอีกเป็น 48−30−11 ส่วน 19 คน คือจำนวนคนที่เข้าร่วมเฉพาะช่วงบ่ายซึ่งได้จาก 30−11 และ 29 คน คือจำนวนคนที่เข้าร่วมช่วงเช้าทั้งหมดซึ่งได้จาก 18+11

คำนวณได้ 30+25+20−12−8−10+5=50 คน ส่วน 75 คน เกิดจากการบวกเฉย ๆ โดยไม่ลบส่วนซ้อนออก ส่วน 45 คน เกิดจากการลืมบวกคืนคนที่เข้าข่ายทั้งสามอย่าง 5 คน ในขั้นสุดท้าย และ 80 คน คือ 75+5 ซึ่งบวกเพียง 5 คนเข้าไปโดยไม่ลบส่วนซ้อนของแต่ละคู่ออก

คนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งอย่างคือ 30+25+40−15−12−18+8=58 คน จึงได้ 70−58=12 คน ส่วน 58 คน คือตัวจำนวนคนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งอย่างเอง ส่วน 29 คน คือจำนวนคนที่ใช้เพียงหนึ่งอย่างพอดี และ 21 คน คือจำนวนคนที่ใช้สองอย่างพอดี ทั้งสองข้อจึงเป็นการสับสนกลุ่มที่โจทย์ถาม

คนที่เข้าข่าย A อย่างเดียวคือ 30−12−10+5=13 คน คนที่เข้าข่าย B อย่างเดียวคือ 25−12−8+5=10 คน และคนที่เข้าข่าย C อย่างเดียวคือ 20−8−10+5=7 คน รวมกันได้ 30 คน ส่วน 50 คน คือจำนวนคนที่เข้าข่ายอย่างน้อยหนึ่งอย่าง ส่วน 15 คน คือจำนวนคนที่เข้าข่ายสองอย่างพอดี และ 20 คน คือจำนวนคนที่เข้าข่ายตั้งแต่สองอย่างขึ้นไปซึ่งได้จาก 15+5

ให้เอาส่วนของคนที่ใช้ทั้งสามอย่างไปลบออกจากส่วนซ้อนของแต่ละคู่ จะได้ (15−8)+(12−8)+(18−8)=7+4+10=21 คน ส่วน 45 คน เกิดจากการบวกส่วนซ้อนเฉย ๆ เป็น 15+12+18 ส่วน 37 คน เกิดจากการลบ 8 ออกเพียงครั้งเดียวจากค่านั้น และ 29 คน คือจำนวนคนที่ใช้ตั้งแต่สองอย่างขึ้นไปซึ่งได้จาก 21+8

เมื่อแทนค่าลงในสูตรของคนที่เข้าข่ายอย่างน้อยหนึ่งอย่าง จะได้ 40=28+24+20−14−10−12+x เมื่อคำนวณ 72−36=36 จึงได้ x=40−36=4 คน ส่วน 10 คน คือจำนวนคนที่ไม่เข้าข่ายเลยซึ่งได้จาก 50−40 ส่วน 0 คน เกิดจากการฟันธงเองว่าไม่มีส่วนซ้อน และ 24 คน คือจำนวนคนที่เข้าข่ายสองอย่างพอดี

คนที่ไม่ได้เข้าอบรมมี A จำนวน 20 คน B จำนวน 30 คน และ C จำนวน 40 คน รวมกันได้เพียง 90 คน คนที่ขาดหลักสูตรใดหลักสูตรหนึ่งจึงมีได้มากที่สุด 90 คน ดังนั้นคนที่เข้าครบทั้งสามหลักสูตรจึงมีอย่างน้อย 100−90=10 คน เมื่อเขียนเป็นสูตรจะได้ 80+70+60−2×100=10 คน และเมื่อลองจัดจริงเป็นส่วนซ้อนของ A กับ B 50 คน ของ B กับ C 30 คน ของ A กับ C 40 คน และครบทั้งสามอย่าง 10 คน ก็จัดลงใน 100 คนได้ ส่วน 0 คน เป็นไปไม่ได้ ส่วน 60 คน คือค่าสูงสุด และ 30 คน คือค่าจาก 100−70

คำนวณได้ 18+20+15−8−6−5+3=37 คน ส่วน 53 คน เกิดจากการบวกเฉย ๆ โดยไม่ลบส่วนซ้อนออก ซึ่งรู้ได้ว่าผิดเพราะเกินจำนวนนักเรียน 40 คน ส่วน 34 คน เกิดจากการลืมบวกคืน 3 คนในขั้นสุดท้าย และ 24 คน คือจำนวนคนที่ถนัดเพียงวิชาเดียวพอดี

คนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งแห่งคือ 45+38+30−20−12−15+7=73 คน จึงได้ 90−73=17 คน ส่วน 73 คน คือตัวจำนวนคนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งแห่งเอง ส่วน 40 คน คือจำนวนคนที่ใช้เพียงแห่งเดียวพอดี และ 26 คน คือจำนวนคนที่ใช้สองแห่งพอดี

คำนวณได้ (8−3)+(6−3)+(5−3)=5+3+2=10 คน ส่วน 19 คน เกิดจากการบวกส่วนซ้อนเฉย ๆ เป็น 8+6+5 ซึ่งลืมลบส่วนของคนที่ถนัดครบทั้งสามวิชาออก ส่วน 13 คน คือจำนวนคนที่ถนัดตั้งแต่สองวิชาขึ้นไปซึ่งได้จาก 10+3 และ 24 คน คือจำนวนคนที่ถนัดเพียงวิชาเดียวพอดี

คนที่ใช้ร้านกาแฟอย่างเดียวคือ 45−20−15+7=17 คน คนที่ใช้ร้านหนังสืออย่างเดียวคือ 38−20−12+7=13 คน และคนที่ใช้ฟิตเนสอย่างเดียวคือ 30−12−15+7=10 คน รวมกันได้ 40 คน ส่วน 73 คน คือจำนวนคนที่ใช้อย่างน้อยหนึ่งแห่ง ส่วน 26 คน คือจำนวนคนที่ใช้สองแห่งพอดี และ 47 คน คือ 73−26 ซึ่งลืมลบคนที่ใช้ครบทั้งสามแห่ง 7 คนออก

ให้บวกคอลัมน์ของฝ่ายเห็นด้วยในแนวตั้ง จะได้ 48+36=84 คน ส่วน 80 คน คือผลรวมของฝ่ายชายซึ่งได้จาก 48+32 ซึ่งเป็นการสับสนระหว่างแถวกับคอลัมน์ ส่วน 76 คน คือผลรวมของคนที่ไม่เห็นด้วยซึ่งได้จาก 32+44 และ 160 คน คือจำนวนผู้ตอบทั้งหมด

ตัวส่วนคือคนอายุ 20 ปีเศษจำนวน 120 คน จึงได้ 72/120=0.6 คือ 60% ส่วน 24% เกิดจากการเอาผู้ตอบทั้งหมด 300 คนมาเป็นตัวส่วนเป็น 72/300 ซึ่งเป็นการสับสนตัวส่วน ส่วน 48% คือ 72/150 ซึ่งเป็นอัตราส่วนของคนอายุ 20 ปีเศษในกลุ่มผู้เคยใช้บริการ 150 คน และ 40% คือ 48/120 ซึ่งเป็นอัตราส่วนของคนที่ไม่เคยใช้บริการในกลุ่มอายุ 20 ปีเศษ

หญิงมี 200−120=80 คน และหญิงที่เห็นด้วยมี 110−70=40 คน ดังนั้นหญิงที่ไม่เห็นด้วยจึงมี 80−40=40 คน เมื่อเขียนเป็นสูตรจะได้ 200−120−110+70=40 คน ส่วน 50 คน คือจำนวนชายที่ไม่เห็นด้วยซึ่งได้จาก 120−70 ส่วน 90 คน คือผลรวมของคนที่ไม่เห็นด้วยซึ่งได้จาก 200−110 และ 80 คน คือผลรวมของหญิง

ฝ่ายขายมี 400×0.6=240 คน และในนั้นมี 240×0.3=72 คน ส่วนฝ่ายอื่นมี 160 คน และในนั้นมี 160×0.2=32 คน รวมกันได้ 72+32=104 คน ส่วน 100 คน เกิดจากการเฉลี่ย 30% กับ 20% เป็น 25% แล้วคำนวณ 400×0.25 ซึ่งผิดเพราะจำนวนคนที่เป็นตัวส่วนต่างกัน จึงเอาอัตราส่วนมาเฉลี่ยกันไม่ได้ ส่วน 120 คน คือ 30% ของทั้งหมด และ 72 คน คือส่วนของฝ่ายขายเพียงฝ่ายเดียว

ฝ่ายชายคือ 15−6=9 คน และฝ่ายหญิงคือ 9−2=7 คน รวมกันได้ 16 คน ส่วน 24 คน คือผลรวมของพนักงานที่ถือใบรับรองซึ่งได้จาก 15+9 ซึ่งลืมลบผู้บริหารออก ส่วน 8 คน คือผลรวมของผู้บริหารที่ถือใบรับรองซึ่งได้จาก 6+2 และ 32 คน คือจำนวนที่ได้จากการเอาผู้บริหารที่ถือใบรับรอง 8 คน ไปลบออกจาก 40 คนเฉย ๆ ซึ่งนับพนักงานที่ไม่ได้ถือใบรับรองรวมเข้ามาด้วย

ชายมี 300 คน และในนั้นเป็นผู้บริหาร 120 คน ส่วนหญิงมี 200 คน และในนั้นเป็นผู้บริหาร 50 คน ผู้บริหารจึงมี 170 คน คำนวณได้ 170/500=0.34 คือ 34% ส่วน 32.5% เกิดจากการเฉลี่ย 40 กับ 25 อย่างง่าย ซึ่งทำไม่ได้เพราะจำนวนชายกับหญิงต่างกัน ส่วน 40% คือการตอบอัตราส่วนของฝ่ายชายไปเลย และ 24% คือ 120/500 ซึ่งเอาเฉพาะผู้บริหารชาย 120 คน ไปหารด้วยยอดรวม

คำนวณได้ 578−(120+85+110+145)=578−460=118 คน ส่วน 263 คน คือ 578−315 ซึ่งลืมลบวันศุกร์ 145 คนออก ส่วน 460 คน คือตัวผลรวมของ 4 วันที่ไม่ใช่วันอังคารเอง และ 348 คน คือ 578−120−110 ซึ่งลืมลบวันพุธและวันศุกร์ออก

คนที่ทำสัญญาทั้งสองอย่างคือ 60−30=30 คน คนที่ทำสัญญาอย่างน้อยหนึ่งอย่างคือ 60+45−30=75 คน จึงได้ 100−75=25 คน ส่วน 30 คน คือจำนวนคนที่ทำสัญญาทั้งสองอย่าง ส่วน 15 คน คือจำนวนคนที่ทำสัญญาเฉพาะ B ซึ่งได้จาก 45−30 และ 55 คน คือจำนวนคนที่ไม่ได้ทำสัญญา B ซึ่งได้จาก 100−45

เดือนเมษายนคือ 120/200=0.6 นั่นคือ 60% และเดือนพฤษภาคมคือ 132/220=0.6 ซึ่งก็คือ 60% เช่นกัน สัดส่วนจึงไม่เปลี่ยนแปลง การตอบว่าสูงขึ้น 10 จุด เกิดจากการปนกันระหว่างการที่ยอดขายสินค้า A เพิ่มขึ้น 10% จาก 120 เป็น 132 กับการเปลี่ยนแปลงของสัดส่วนในยอดขายทั้งหมด เนื่องจากสินค้า B ก็เพิ่มขึ้น 10% เท่ากันจาก 80 เป็น 88 สัดส่วนจึงไม่ขยับ การตอบว่าสูงขึ้น 6 จุด เกิดจากการคงตัวส่วนของเดือนพฤษภาคมไว้ที่ 200 เท่าเดิมแล้วเทียบเป็น 132/200=66% และการตอบว่าลดลง 10 จุด เกิดจากการเห็นการเพิ่มขึ้น 10% เหมือนกันแต่สลับทิศทางของการเปลี่ยนแปลง

ค่าน้อยที่สุดคือ 32+28−50=10 คน ซึ่งจัดได้จริงเป็นทั้งสองอย่าง 10 คน ปั่นจักรยานอย่างเดียว 22 คน เข้าชมรมอย่างเดียว 18 คน และไม่เข้าข่ายเลย 0 คน ส่วนค่ามากที่สุดคือตอนที่คนเข้าชมรมทั้ง 28 คนปั่นจักรยานมาด้วยทุกคน นั่นคือ 28 คน ซึ่งจัดได้จริงเป็นทั้งสองอย่าง 28 คน ปั่นจักรยานอย่างเดียว 4 คน เข้าชมรมอย่างเดียว 0 คน และไม่เข้าข่ายเลย 18 คน การตอบว่าตั้งแต่ 0 คน นั้นเป็นไปไม่ได้ เพราะ 32+28=60 ยัดลงใน 50 คนไม่ได้ การตอบว่าถึง 32 คน ก็เป็นไปไม่ได้ เพราะคนเข้าชมรมมีเพียง 28 คน และการตอบว่าตั้งแต่ 4 คน เกิดจากการเข้าใจผิดว่าผลต่าง 32−28 คือค่าน้อยที่สุด ซึ่งถ้าทั้งสองอย่างมี 4 คน จะได้ปั่นจักรยานอย่างเดียว 28 คน และเข้าชมรมอย่างเดียว 24 คน รวมเป็น 56 คน ซึ่งเกิน 50 คน