Ensembles et lecture de tableaux

L'addition 25 + 18 compte deux fois les 10 élèves qui aiment les deux : il faut donc en retrancher une fois, 25 + 18 − 10 = 33. Le résultat 43 oublie de retrancher ces 10 élèves ; comme il dépasse les 40 élèves de la classe, on voit tout de suite qu'il est faux. Le résultat 15 est le nombre de ceux qui n'aiment que les mathématiques, et 7 celui de ceux qui n'aiment ni l'une ni l'autre.

Ceux qui prennent au moins l'un des deux sont 30 + 22 − 14 = 38, d'où 50 − 38 = 12. Le résultat 38 donne le nombre de ceux qui prennent au moins l'un des deux ; 16 est le nombre de ceux qui ne prennent que le bus, 30 − 14, et 8 celui de ceux qui ne prennent que le train, 22 − 14 : ce sont des catégories différentes de celle demandée.

Les 35 titulaires de A comprennent les 12 qui ont les deux : 35 − 12 = 23. Le résultat 35 reprend tel quel l'ensemble des titulaires de A ; 16 est le nombre de ceux qui n'ont que B, 28 − 12 ; 51 est le nombre de ceux qui ont au moins l'une des deux, 35 + 28 − 12.

Ceux qui ont réussi au moins une question sont 60 − 5 = 55, d'où 35 + 28 − 55 = 8 pour les deux. Le résultat 3 vient d'avoir posé 35 + 28 − 60 en gardant l'effectif total, sans retrancher d'abord les 5 personnes qui ont tout raté. Le résultat 27 est le nombre de ceux qui n'ont réussi que A, et 20 celui de ceux qui n'ont réussi que B.

Ceux qui n'utilisent que B sont 80 − 18 − 27 − 20 = 15. Les utilisateurs de B s'obtiennent en y ajoutant les 18 qui utilisent les deux : 15 + 18 = 33. Le résultat 15 s'arrête à ceux qui n'utilisent que B, sans ajouter les usagers des deux ; 45 est le nombre d'utilisateurs de A, 27 + 18 ; 60 est le nombre de ceux qui utilisent au moins l'un des deux, 80 − 20.

La proportion de ceux qui connaissent au moins l'un des deux vaut 60 + 45 − 25 = 80 %, soit 160 personnes, d'où 200 − 160 = 40. Le résultat 160 donne le nombre de ceux qui en connaissent au moins un ; 70 est le nombre de ceux qui ne connaissent que A, 200 × 0,35 ; 50 est le nombre de ceux qui connaissent les deux, 200 × 0,25.

Comme 70 + 60 = 130 dépasse 100, au moins 130 − 100 = 30 personnes se recouvrent. On peut effectivement répartir 30 aux deux, 40 à la seule question 1, 30 à la seule question 2 et 0 à aucune : le minimum est donc 30. La réponse 0 suppose l'absence de recouvrement, ce qui est impossible puisque 130 réponses ne tiennent pas dans 100 personnes. La réponse 10 est l'écart 70 − 60, et 60 le recouvrement maximal.

Le recouvrement est maximal si les 75 répondants ont tous pris une brochure, soit 75 personnes. On peut effectivement répartir 75 aux deux, 15 à la seule brochure et 30 à aucun des deux. La réponse 90 reprend le plus grand des deux effectifs, ce qui est impossible puisqu'il n'y a que 75 répondants. La réponse 45 correspond à 90 + 75 − 120, c'est-à-dire au minimum, et 30 à 120 − 90.

On a 40 + 35 − 12 = 63 %, soit 300 × 0,63 = 189 adhérents. Le résultat 225 vient d'avoir posé 40 + 35 = 75 % sans retrancher le recouvrement ; 111 est le nombre de ceux qui n'utilisent aucun des deux, 300 × 0,37 ; 36 est le nombre de ceux qui utilisent les deux.

En retirant des 48 participants à au moins une séance les 30 participants de l'après-midi, il reste ceux du seul matin : 48 − 30 = 18. Le résultat 7 vient d'avoir retranché en trop les 11 personnes présentes aux deux, 48 − 30 − 11 ; 19 est le nombre de ceux qui n'ont participé qu'à l'après-midi, 30 − 11 ; 29 est le total des participants du matin, 18 + 11.

On a 30 + 25 + 20 − 12 − 8 − 10 + 5 = 50 personnes. Le résultat 75 se contente d'additionner sans retrancher les recouvrements ; 45 oublie de rajouter les 5 personnes des trois critères ; 80 correspond à 75 + 5, où l'on ajoute ces 5 personnes sans avoir retranché les recouvrements deux à deux.

Ceux qui utilisent au moins un média sont 30 + 25 + 40 − 15 − 12 − 18 + 8 = 58, d'où 70 − 58 = 12. Le résultat 58 donne le nombre de ceux qui en utilisent au moins un ; 29 est le nombre de ceux qui n'en utilisent qu'un seul ; 21 est le nombre de ceux qui en utilisent exactement deux : ce sont des catégories différentes de celle demandée.

Pour A seul, 30 − 12 − 10 + 5 = 13 personnes ; pour B seul, 25 − 12 − 8 + 5 = 10 ; pour C seul, 20 − 8 − 10 + 5 = 7. Au total, 30 personnes. Le résultat 50 est le nombre de celles qui correspondent à au moins un critère ; 15 celui de celles qui en cumulent exactement deux ; 20 celui de celles qui en cumulent au moins deux, 15 + 5.

De chaque recouvrement deux à deux, on retranche la part des trois médias : (15 − 8) + (12 − 8) + (18 − 8) = 7 + 4 + 10 = 21 personnes. Le résultat 45 additionne simplement les recouvrements, 15 + 12 + 18 ; 37 ne retranche 8 qu'une seule fois ; 29 est le nombre de personnes qui utilisent au moins deux médias, 21 + 8.

En appliquant la formule de la réunion, 40 = 28 + 24 + 20 − 14 − 10 − 12 + x. Comme 72 − 36 = 36, on obtient x = 40 − 36 = 4 personnes. Le résultat 10 est le nombre de celles qui ne correspondent à aucun critère, 50 − 40 ; 0 suppose arbitrairement l'absence de recouvrement ; 24 est le nombre de celles qui correspondent à exactement deux critères.

Ceux qui n'ont pas suivi une formation sont 20 pour A, 30 pour B et 40 pour C, soit 90 au total. Comme 90 est au plus le nombre de personnes à qui il manque au moins une formation, celles qui ont suivi les trois sont au moins 100 − 90 = 10. Par la formule, 80 + 70 + 60 − 2 × 100 = 10. On peut effectivement répartir sur 100 personnes un recouvrement de 50 pour A et B, de 30 pour B et C, de 40 pour A et C, et de 10 pour les trois. La réponse 0 est impossible, 60 est le maximum, et 30 correspond à 100 − 70.

On a 18 + 20 + 15 − 8 − 6 − 5 + 3 = 37 élèves. Le résultat 53 additionne sans retrancher les recouvrements et dépasse d'ailleurs les 40 élèves de la classe ; 34 oublie de rajouter les 3 élèves des trois matières ; 24 est le nombre de ceux qui n'ont qu'une seule matière forte.

Ceux qui en fréquentent au moins un sont 45 + 38 + 30 − 20 − 12 − 15 + 7 = 73, d'où 90 − 73 = 17. Le résultat 73 donne le nombre de ceux qui en fréquentent au moins un ; 40 celui de ceux qui n'en fréquentent qu'un seul ; 26 celui de ceux qui en fréquentent exactement deux.

On calcule (8 − 3) + (6 − 3) + (5 − 3) = 5 + 3 + 2 = 10 élèves. Le résultat 19 additionne simplement les recouvrements, 8 + 6 + 5, sans retrancher la part des trois matières ; 13 est le nombre d'élèves ayant au moins deux matières fortes, 10 + 3 ; 24 est le nombre de ceux qui n'en ont qu'une seule.

Pour le seul café, 45 − 20 − 15 + 7 = 17 personnes ; pour la seule librairie, 38 − 20 − 12 + 7 = 13 ; pour la seule salle de sport, 30 − 12 − 15 + 7 = 10. Au total, 40 personnes. Le résultat 73 est le nombre de celles qui en fréquentent au moins un ; 26 celui de celles qui en fréquentent exactement deux ; 47 correspond à 73 − 26, où l'on a oublié de retrancher les 7 personnes des trois établissements.

On additionne verticalement la colonne des avis favorables : 48 + 36 = 84. Le résultat 80 est le total des hommes, 48 + 32, c'est-à-dire une confusion entre ligne et colonne ; 76 est le total des avis défavorables, 32 + 44 ; 160 est l'effectif de tous les répondants.

Le dénominateur est le groupe des 120 personnes de 20 à 29 ans : 72/120 = 0,6, soit 60 %. Le résultat 24 % prend pour dénominateur les 300 répondants, 72/300 : c'est une erreur de dénominateur. Le résultat 48 % est la part des 20-29 ans parmi les 150 utilisateurs, 72/150 ; 40 % est la part de ceux qui n'ont pas utilisé le service parmi les 20-29 ans, 48/120.

Les femmes sont 200 − 120 = 80, et les femmes favorables 110 − 70 = 40 : les femmes défavorables sont donc 80 − 40 = 40. Par le calcul direct, 200 − 120 − 110 + 70 = 40. Le résultat 50 est le nombre d'hommes défavorables, 120 − 70 ; 90 le total des avis défavorables, 200 − 110 ; 80 le total des femmes.

Le service commercial compte 400 × 0,6 = 240 salariés, dont 240 × 0,3 = 72 qualifiés ; les autres sont 160, dont 160 × 0,2 = 32 qualifiés, d'où 72 + 32 = 104. Le résultat 100 vient d'avoir moyenné 30 % et 20 % en 25 % puis calculé 400 × 0,25 : les effectifs de référence étant différents, on ne peut pas moyenner les proportions. Le résultat 120 est 30 % de l'ensemble, et 72 ne compte que le service commercial.

Chez les hommes, 15 − 6 = 9 ; chez les femmes, 9 − 2 = 7 ; au total, 16 salariés. Le résultat 24 est le total des qualifiés, 15 + 9, sans retrancher l'encadrement ; 8 est le total des qualifiés qui encadrent, 6 + 2 ; 32 retranche des 40 personnes ces 8 encadrants, ce qui revient à compter aussi les salariés sans qualification.

Les hommes sont 300, dont 120 encadrants ; les femmes 200, dont 50. L'encadrement compte donc 170 personnes : 170/500 = 0,34, soit 34 %. Le résultat 32,5 % vient d'avoir pris la moyenne simple de 40 et de 25, alors que les effectifs d'hommes et de femmes diffèrent ; 40 % reprend la proportion chez les hommes ; 24 % ne rapporte à l'ensemble que les 120 hommes encadrants, 120/500.

On calcule 578 − (120 + 85 + 110 + 145) = 578 − 460 = 118. Le résultat 263 vient d'avoir oublié les 145 personnes du vendredi, 578 − 315 ; 460 est le total des 4 jours autres que le mardi ; 348 vient d'avoir oublié le mercredi et le vendredi, 578 − 120 − 110.

Celles qui ont souscrit aux deux sont 60 − 30 = 30, et celles qui en ont au moins un 60 + 45 − 30 = 75, d'où 100 − 75 = 25. Le résultat 30 est le nombre de celles qui ont souscrit aux deux ; 15 celui de celles qui n'ont que le service B, 45 − 30 ; 55 celui de celles qui n'ont pas le service B, 100 − 45.

En avril, 1 200 000/2 000 000 = 0,6, soit 60 % ; en mai, 1 320 000/2 200 000 = 0,6, soit 60 % : la part ne bouge pas. Dire qu'elle gagne 10 points revient à confondre la hausse de 10 % du produit A, de 1 200 000 à 1 320 000 yens, avec l'évolution de sa part dans le total ; le produit B augmente de la même façon de 10 %, de 800 000 à 880 000 yens, si bien que la structure reste inchangée. Dire qu'elle gagne 6 points revient à garder pour mai le dénominateur d'avril, 2 000 000 yens, et à comparer avec 66 %. Dire qu'elle perd 10 points reprend cette même hausse de 10 % en se trompant de sens.

Le minimum vaut 32 + 28 − 50 = 10, et l'on peut répartir 10 aux deux, 22 au seul vélo, 18 au seul club et 0 à aucun des deux. Le maximum est atteint si les 28 membres de club viennent tous à vélo, soit 28, avec 28 aux deux, 4 au seul vélo, 0 au seul club et 18 à aucun des deux. Partir de 0 est impossible, puisque 32 + 28 = 60 ne tient pas dans 50 personnes. Monter à 32 est impossible, puisque le club ne compte que 28 élèves. Partir de 4 revient à prendre l'écart 32 − 28 pour le minimum : avec 4 aux deux, on aurait 28 au seul vélo et 24 au seul club, soit 56 élèves, ce qui ne tient pas dans 50.