비율·비·손익

견주는 양 = 기준량 x 비율이다. 기준량은 전교생 800명이므로 800 x 0.4 = 320명이다. 480명은 100 - 40 = 60%를 계산한 여학생의 수이고, 2000명은 곱해야 할 자리에서 800 / 0.4로 나눠 버린 실수이며, 3200명은 0.4를 4로 잘못 읽은 실수다.

'정원의'라고 했으므로 기준량은 250명이다. 200 / 250 = 0.8이어서 80%다. 125%는 250 / 200으로 기준량과 견주는 양을 거꾸로 놓은 실수다. 20%는 정원에 못 미치는 50명의 비율 50 / 250을 구한 실수다. 50%는 모자란 인원 50명을 그대로 %로 읽은 실수다.

증감률의 기준량은 변하기 전인 1200엔이다. 오른 금액은 300엔이므로 300 / 1200 = 0.25이어서 25%다. 20%는 300 / 1500으로 오른 뒤의 값을 기준량으로 삼은 실수다. 30%는 오른 금액 300엔의 앞자리만 보고 3할로 읽어 버린 실수로, 기준량으로 나누는 절차가 빠져 있다. 125%는 1500 / 1200으로 늘어난 몫이 아니라 전체의 비율을 구한 실수다.

비의 합계는 2 + 3 + 5 = 10이다. 한 덩어리 몫은 15000 / 10 = 1500엔이고 B는 세 덩어리 몫이므로 1500 x 3 = 4500엔이다. 3000엔은 A의 몫, 7500엔은 C의 몫, 5000엔은 비를 무시하고 3등분한 금액이다.

공통인 B를 4와 6의 최소공배수 12로 맞춘다. A:B = 9:12, B:C = 12:10이므로 A:B:C = 9:12:10이 되어 A:C = 9:10이다. 3:5는 맞추지 않고 양 끝의 수를 그냥 늘어놓은 실수다. 5:8은 3 x 5 : 4 x 6 = 15:24로 어긋나게 곱한 실수다.

기준량 = 견주는 양 / 비율이므로 120 / 0.25 = 480쪽이다. 30쪽은 120 x 0.25로 곱해 버린 실수다. 160쪽은 120 / 0.75로 25%를 남은 몫의 비율로 잘못 잡은 실수다. 600쪽은 25%를 2할로 보고 120 / 0.2로 계산한 실수다.

비율의 비율은 곱셈으로 잇는다. 0.6 x 0.25 = 0.15이어서 15%다. 85%는 60과 25를 더한 실수, 35%는 60에서 25를 뺀 실수, 1.5%는 0.15의 소수점을 한 자리 옮긴 실수다. 부원을 100명으로 놓으면 2학년이 60명, 그 가운데 여학생이 15명임을 확인할 수 있다.

변한 뒤 = 변하기 전 x (1 - 0.12) = 2500 x 0.88 = 2200명이다. 2800명은 2500 x 1.12로 늘어난 것으로 계산한 실수이고, 2488명은 2500에서 12를 뺀 것으로 비율과 실제 수를 뒤섞은 것이며, 300명은 줄어든 인원 2500 x 0.12로 이번 달 손님 수가 아니다.

1할 = 10%, 1푼 = 1%이므로 3할 2푼 = 30% + 2% = 32%다. 소수로 쓰면 0.32이며, 이것을 그대로 %로 쓰면 0.32%가 되고, 자리를 한둘 옮기면 3.2%나 320%가 된다. 비율 그 자체와 백분율을 뒤섞지 않도록 한다.

원액이 비의 2에 해당하므로 한 덩어리는 150 / 2 = 75mL다. 전체는 2 + 7 = 9 덩어리이므로 75 x 9 = 675mL다. 525mL는 물만의 양 75 x 7이고, 1350mL는 원액을 한 덩어리로 보고 150 x 9로 계산한 실수이며, 300mL는 150 x 2로 비의 수를 그대로 곱한 실수다.

처음을 5x 엔과 3x 엔으로 놓으면 건넨 뒤에는 5x - 400과 3x + 400이 되어 2(5x - 400) = 3(3x + 400)이다. 10x - 800 = 9x + 1200에서 x = 2000이므로 형은 5 x 2000 = 10000엔이다. 6000엔은 처음에 동생이 가진 돈, 9600엔은 건넨 뒤 형이 가진 돈, 16000엔은 두 사람의 합계다.

C를 1로 놓으면 B는 1.5이고 A는 1.5 x 1.2 = 1.8이다. 배의 관계는 곱셈으로 잇는다. 2.7배는 1.2와 1.5를 더한 실수, 0.8배는 1.2 / 1.5로 나눈 실수, 1.25배는 1.5 / 1.2로 거꾸로 나눈 실수다.

남성을 x명으로 놓으면 0.25x + 0.4(640 - x) = 205다. 좌변을 정리하면 256 - 0.15x = 205이므로 0.15x = 51, x = 340명이다. 남성 340명의 25%는 85명, 여성 300명의 40%는 120명으로 합계 205명임을 확인할 수 있다. 300명은 여성의 수이며, 남녀의 비율을 뒤바꿔 풀어도 이 값이 나온다. 85명은 남성 자격증 보유자 수, 256명은 640 x 0.4로 여성의 비율을 전체에 곱한 실수다.

정가 = 원가 x (1 + 이익률) = 800 x 1.3 = 1040엔이다. 830엔은 800에 30을 그대로 더한 것으로 비율과 금액을 뒤섞은 것이다. 560엔은 800 x 0.7로 값을 깎는 것으로 계산한 실수다. 240엔은 내다본 이익 금액 800 x 0.3이어서 정가가 아니다.

판매가 = 정가 x (1 - 0.2) = 2500 x 0.8 = 2000엔이다. 500엔은 깎이는 금액 2500 x 0.2이므로 판매가가 아니다. 2480엔은 2500에서 20을 뺀 것으로 비율과 금액을 뒤섞은 것이다. 3000엔은 2500 x 1.2로 2할을 올려 계산한 실수다.

이익은 1500 - 1200 = 300엔이다. '원가의'라고 했으므로 기준량은 1200엔이고 300 / 1200 = 0.25, 곧 25%다. 20%는 300 / 1500으로 판매가를 기준량으로 삼은 실수다. 125%는 1500 / 1200으로 이익이 아니라 판매가 전체의 비율이다. 80%는 1200 / 1500으로 거꾸로 나눈 실수다.

정가는 2000 x 1.25 = 2500엔이고 판매가는 2500 x 0.8 = 2000엔이므로, 판매가가 원가와 같아 이익은 0엔이다. 이익률의 기준은 원가이고 할인율의 기준은 정가여서 기준이 다르기 때문에, 25% 올린 뒤에 20%를 깎으면 마침 처음으로 돌아온다. 500엔은 정가 그대로 팔렸을 때의 이익이다. 100엔은 25 - 20 = 5%를 원가에 곱한 2000 x 0.05, 125엔은 같은 5%를 정가에 곱한 2500 x 0.05의 실수다.

원가의 8%가 240엔이므로 원가 = 240 / 0.08 = 3000엔이다. 2400엔은 240 / 0.1로 할인율인 10%로 나눠 버린 실수다. 3240엔은 원가에 이익을 더한 판매가 3000 + 240의 값이다. 3600엔은 판매가를 0.9로 되돌려 나눈 정가 3240 / 0.9의 값으로, 어느 것도 원가가 아니다.

필요한 판매가는 4000 x 1.2 = 4800엔이다. 판매가는 정가의 0.8배이므로 정가 = 4800 / 0.8 = 6000엔이다. 검산하면 6000 x 0.8 = 4800이어서 이익이 800엔이고 원가의 20%에 해당한다. 4800엔은 판매가 그 자체다. 5000엔은 이익을 생각하지 않고 4000 / 0.8로 계산한 실수다. 5760엔은 4800 x 1.2로 20% 할인을 되돌리는 데 1.2배를 한 실수다.

먼저 20% 할인으로 5000 x 0.8 = 4000엔이 되고 거기서 500엔을 빼면 3500엔이다. 3600엔은 차례를 거꾸로 하여 (5000 - 500) x 0.8 = 3600으로 계산한 실수로, 비율로 깎는 것이 앞이냐 뒤냐에 따라 결과가 달라진다. 4000엔은 20% 할인에서 멈춘 금액이고, 4500엔은 500엔 깎기에서 멈춘 금액이다.

8000 x 0.9 = 7200엔이고 7200 x 0.9 = 6480엔이다. 두 번째의 기준량은 7200엔이므로 10% 할인을 두 번 이어서 해도 20% 할인이 되지는 않는다. 6400엔은 8000 x 0.8로 한꺼번에 20% 할인한 실수다. 7200엔은 한 번만 할인한 금액이고, 1520엔은 깎인 금액의 합계 8000 - 6480이다.

600엔 손해라는 것은 판매가가 6000 - 600 = 5400엔이라는 뜻이다. 판매가는 정가의 0.8배이므로 정가 = 5400 / 0.8 = 6750엔이다. 검산하면 6750 x 0.8 = 5400으로 원가보다 600엔 싸다. 5400엔은 판매가 그 자체다. 7500엔은 손해를 셈에 넣지 않고 6000 / 0.8로 계산한 실수다. 6600엔은 원가에 손해를 더한 6000 + 600의 실수다.

들여온 값의 합계는 300 x 120 = 36000엔이다. 매출은 450 x 100 + 240 x 20 = 45000 + 4800 = 49800엔이므로 이익은 49800 - 36000 = 13800엔이다. 18000엔은 120개 모두가 450엔에 팔린 경우의 이익 54000 - 36000이다. 15000엔은 450엔에 팔린 100개 몫의 이익 150 x 100만 계산한 실수다. 49800엔은 매출의 합계여서 이익이 아니다.

판매가의 25%가 이익이라면 원가는 판매가의 75%에 해당한다. 판매가 = 900 / 0.75 = 1200엔이고, 이익 300엔은 참으로 판매가의 25%다. 1125엔은 900 x 1.25로 원가를 기준으로 계산한 실수다. 675엔은 900 x 0.75로 비율의 쓰임을 거꾸로 한 실수다. 3600엔은 900 / 0.25로 이익의 비율로 원가를 나눈 실수다.

세금 포함 가격 = 세금 뺀 가격 x 1.1 = 2400 x 1.1 = 2640엔이다. 2410엔은 2400에 10을 더한 것으로 비율과 금액을 뒤섞은 것이다. 2160엔은 2400 x 0.9로 10%를 빼 버린 실수다. 240엔은 소비세 금액 그 자체이므로 세금 포함 가격이 아니다.

세금 포함 가격은 세금 뺀 가격의 1.1배이므로 세금 뺀 가격 = 3300 / 1.1 = 3000엔이다. 소비세는 300엔이다. 2970엔은 3300 x 0.9로 세금 포함 가격에서 10%를 뺀 실수다. 3630엔은 3300 x 1.1로 세금을 한 번 더 곱한 실수다. 330엔은 3300 x 0.1로 세금 포함 가격의 10%를 세액으로 삼은 실수다.

원가를 x엔으로 놓으면 정가는 1.4x이고 판매가는 1.4x x 0.7 = 0.98x다. 손해는 x - 0.98x = 0.02x이므로 0.02x = 240에서 x = 12000엔이다. 검산하면 정가 16800엔, 판매가 11760엔이고 원가와의 차는 240엔이다. 2400엔은 40%에서 30%를 뺀 10%의 손해로 보고 240 / 0.1로 계산한 실수다. 16800엔은 정가이고 11760엔은 판매가다.

소금물 전체는 40 + 160 = 200g이므로 농도는 40 / 200 = 0.2로 20%다. 분모가 물이 아니라 소금물 전체라는 점이 요점이다. 25%는 40 / 160으로 물의 양을 분모로 삼은 실수다. 80%는 물의 비율 160 / 200이다. 2%는 0.2의 소수점을 한 자리 옮긴 실수다.

소금의 양 = 소금물의 무게 x 농도 = 450 x 0.08 = 36g이다. 414g은 물의 양 450 - 36이므로 소금의 양이 아니다. 3.6g은 소수점을 한 자리 옮긴 실수다. 360g은 450 x 0.8로 8%를 8할로 본 실수다.

소금은 200 x 0.05 = 10g과 300 x 0.12 = 36g으로 합계 46g이고 전체는 500g이므로 46 / 500 = 0.092, 곧 9.2%다. 8.5%는 5와 12를 단순히 평균한 실수로, 양이 많은 12% 쪽으로 치우쳐야 하므로 틀렸음을 알 수 있다. 17%는 5와 12를 더한 실수, 7%는 12에서 5를 뺀 실수다.

소금은 500 x 0.08 = 40g이고 물이 증발해도 달라지지 않는다. 전체는 500 - 100 = 400g이므로 40 / 400 = 0.1로 10%다. 8%는 물이 줄어도 농도는 그대로라고 여긴 실수다. 6.4%는 8 x 400 / 500으로 비를 거꾸로 곱한 실수다. 40%는 소금의 양 40g을 그대로 %로 읽은 실수다.

소금은 300 x 0.12 = 36g이고 물을 더해도 달라지지 않는다. 9%가 될 때의 전체는 36 / 0.09 = 400g이므로 더하는 물은 400 - 300 = 100g이다. 400g은 더한 뒤의 소금물 전체 무게이지 더하는 물의 양이 아니다. 75g은 300 x (12 - 9) / 12로 차의 비율을 전체에 곱한 실수다. 36g은 소금의 양이다.

6%를 x g으로 놓으면 0.06x + 0.15(450 - x) = 45이고, 0.09x = 22.5에서 x = 250g이다. 15%는 200g이고 소금은 15 + 30 = 45g으로 들어맞는다. 200g은 지렛대 방식의 비를 거꾸로 잡은 값으로, 실제로는 무게의 비가 (15 - 10):(10 - 6) = 5:4이므로 6% 쪽이 더 많다. 225g은 450g의 절반이고, 45g은 만들어지는 소금물에 든 소금의 양이다.

잇달아 일어나는 증감은 곱셈으로 이으므로 1.2 x 0.8 = 0.96이 되어 96%다. 이듬해에 내릴 때의 기준량은 오른 뒤의 값이므로 내리는 금액이 더 크다. 100%는 서로 지워져 처음으로 돌아온다고 여긴 실수다. 144%는 1.2 x 1.2로 두 해 모두 오른 것으로 본 실수다. 40%는 1.2 - 0.8 = 0.4로 뺀 실수다.

올해 = 재작년 x 1.2 x 0.75 = 재작년 x 0.9이므로 재작년 = 5400 / 0.9 = 6000만 엔이다. 검산하면 6000에서 7200으로, 다시 5400으로 이어진다. 4860만 엔은 5400 x 0.9로 나눌 자리에서 곱한 실수다. 6480만 엔은 5400 x 1.2로 늘어난 몫만 되돌린 실수다. 7200만 엔은 지난해의 매출이다.

1분에 210 / 6 = 35개를 만들 수 있으므로 980 / 35 = 28분이다. 35분은 1분당 개수인 35를 그대로 분으로 답한 실수다. 22분은 980 - 210 = 770개 몫만 계산한 770 / 35의 값으로, 처음 210개 몫의 시간이 빠져 있다.

계약금은 180000 x 0.2 = 36000엔이고 남은 금액은 144000엔이다. 한 번에 내는 금액은 144000 / 12 = 12000엔이다. 15000엔은 계약금을 빼지 않고 180000 / 12로 계산한 실수다. 3000엔은 계약금 36000엔 쪽을 12로 나눈 실수다. 36000엔은 계약금의 액수다.

다달이 내는 금액의 합계는 4500 x 20 = 90000엔이고 계약금을 더한 총액은 115000엔이다. 115000 - 105000 = 10000엔 많다. 15000엔은 계약금을 셈에 넣지 않고 90000엔과 한꺼번에 내는 값을 견준 차다. 25000엔은 계약금의 액수 그 자체다.

A 가게는 900 / 7.5 = 120엔이고 B 가게는 1380 / 12 = 115엔이므로 100mL당 B 가게가 5엔 싸다. 'A 가게가 5엔 싸다'는 크고 작음을 뒤바꾼 실수다. '50엔 싸다'는 1000mL당으로 견준 차 1200 - 1150을 100mL당으로 잘못 적은 실수다. '480엔 싸다'는 용량을 무시하고 1380 - 900으로 총액만 견준 실수다.

원가의 합계는 500 x 200 = 100000엔이다. 할인 가격은 800 x 0.8 = 640엔이므로 매출은 800 x 150 + 640 x 50 = 120000 + 32000 = 152000엔이다. 이익은 152000 - 100000 = 52000엔이다. 60000엔은 200개 모두가 정가로 팔린 경우의 이익이다. 50000엔은 20% 할인을 200엔 할인으로 여겨 할인 가격을 600엔으로 잡은 실수다. 152000엔은 매출의 합계다.