Teorie fundamentală

Pozițiile numărului binar au, de la dreapta, ponderile 1, 2, 4, 8. 1011 înseamnă 8×1 + 4×0 + 2×1 + 1×1 = 11. 9 este în binar 1001, 13 este 1101, iar 15 este 1111 — niciunul nu coincide cu 1011.

Împărțind 45 la 2 și citind resturile de jos în sus se obține 101101. Verificare: 32 + 8 + 4 + 1 = 45, deci corespunde. 101011 este 43, 110101 este 53, iar 111001 este 57 — niciunul nu dă 45.

A doua cifră hexazecimală are ponderea 16, iar F reprezintă 15. Deci 2×16 + 15 = 47. 31 este în hexazecimal 1F, 43 este 2B, iar 62 este 3E — niciunul nu coincide cu 2F. De reținut că în hexazecimal literele A–F reprezintă valorile 10–15.

4 cifre binare corespund unei cifre hexazecimale, deci 11010110 se împarte în 1101 și 0110. 1101 este 13, adică D, iar 0110 este 6, deci rezultatul este D6. 6D ar fi 01101101, B6 ar fi 10110110, iar C6 ar fi 11000110 — niciunul nu coincide cu valoarea inițială.

Cu n biți se pot reprezenta 2 la puterea n stări, deci cu 8 biți 2 la puterea 8 = 256 de valori (în zecimal de la 0 la 255). 8 este chiar numărul de biți, 16 corespunde la 4 biți, iar 128 la 7 biți — niciunul nu este numărul de combinații pentru 8 biți.

Cu n biți se pot distinge 2 la puterea n valori. 2 la puterea 5 = 32 nu ajunge pentru 50 de simboluri, iar 2 la puterea 6 = 64 ajunge, deci minimul este 6 biți. Cu 5 biți se pot reprezenta doar 32 și nu ajunge. Cu 7 biți (128) și cu 8 biți (256) se poate, dar nu se respectă condiția de minim.

La ȘI logic, fiecare poziție devine 1 doar dacă ambele valori sunt 1. Cele 4 poziții superioare devin toate 0, pentru că perechea lor este 0, iar din cele 4 inferioare rămâne 0011, deci rezultatul este 00000011. 00001111 este chiar al doilea operand, 10111111 este rezultatul SAU logic (OR), iar 10110000 ar fi rezultatul mascării cu 11110000, adică extragerea celor 4 poziții superioare.

SAU exclusiv dă 1 doar pe pozițiile unde valorile diferă. De la stânga: 1 și 1 dau 0, 1 și 0 dau 1, 0 și 1 dau 1, 1 și 1 dau 0 — rezultatul este 0110. 1001 este rezultatul ȘI logic, 1111 al SAU logic, iar 0100 nu corespunde niciunei operații de bază.

Complementul față de 2 se obține inversând fiecare bit al numărului și adunând 1. 5 este 00000101, inversat devine 11111010, iar după adunarea lui 1 rezultă 11111011. 11111010 este doar inversarea (complementul față de 1), fără adunarea lui 1. 10000101 este reprezentarea semn-valoare, cu bitul de semn 1 în față, iar 11111100 reprezintă −4.

După legea lui De Morgan, negația unui ȘI logic este SAU logic al negațiilor termenilor, deci NOT(A AND B) este egal cu NOT A OR NOT B. NOT A AND NOT B este o expresie diferită, egală cu NOT(A OR B); A OR B nu conține negația și dă rezultatul opus, iar A AND NOT B neagă doar pe B și nu este echivalentă. Se poate verifica parcurgând toate cele 4 combinații din tabelul de adevăr.

Cei care folosesc cel puțin unul sunt 60 + 45 − 25 = 80, scăzând o singură dată suprapunerea. Prin urmare, cei care nu folosesc niciunul sunt 100 − 80 = 20. 10 și 15 rezultă din scăderea greșită a suprapunerii, iar 25 este chiar numărul celor care le folosesc pe amândouă, nu ce se cere.

SAU exclusiv dă 1 doar când valorile intrărilor diferă și 0 când sunt egale. Când amândouă sunt 1, rezultatul este 0 — 1 în acest caz dă ȘI logic. Când amândouă sunt 0, rezultatul este tot 0. Ultimul caz descrie negația lui XOR (circuitul de coincidență), unde rezultatul este exact invers.

Valoarea așteptată se obține însumând produsele dintre sume și probabilitățile lor: (5.000×1 + 1.000×5) ÷ 100 = 10.000 ÷ 100 = 100 de yeni. 150 și 200 provin din înmulțiri greșite ale sumelor sau numărului de bilete, iar 600 de yeni rezultă din înmulțirea probabilității de câștig 6÷100 cu totalul premiilor de 10.000 de yeni, fără a înmulți fiecare sumă cu probabilitatea ei.

Există în total 6×6 = 36 de combinații. Suma 7 se obține în 6 cazuri: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), deci 6÷36 = 1/6. 1/12 ar corespunde la 3 cazuri, 1/9 la 4 cazuri, iar 1/8 la 4,5 cazuri — niciunul nu se potrivește cu numărul real de combinații.

Alegerea fără distincția ordinii se calculează prin combinări: (6×5) ÷ (2×1) = 15 moduri. 30 este valoarea aranjamentelor 6×5, cu distincția ordinii, în care aceeași pereche se numără de două ori. 12 este 6×2, iar 36 este 6×6 — ambele numărători greșite.

Pe primul loc sunt 4 posibilități, pe al doilea rămân 3, pe al treilea 2 și pe al patrulea 1, deci 4×3×2×1 = 24 de moduri. 12 este 4×3 și numără doar primele două locuri, 16 este 4×4 și numără aceeași persoană de mai multe ori, iar 4 este doar numărul persoanelor.

Mediana este valoarea din mijloc după ordonarea datelor. Fiind 5 valori, mediana este a 3-a, adică 20. 40 este media aritmetică (suma 200 ÷ 5), trasă în sus de valoarea extremă 120. 30 este a 4-a valoare, iar 120 este maximul — niciuna nu este mediana.

Pătratele abaterilor față de medie sunt 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, cu suma 32. Dispersia este 32 ÷ 8 = 4, iar abaterea standard este rădăcina ei pătrată, adică 2. 4 este chiar dispersia, 8 este numărul de date, iar 1 este doar una dintre valorile pătratelor abaterilor — niciuna nu este abaterea standard.

Abaterea standard este rădăcina pătrată a dispersiei și exprimă cât de mult se împrăștie datele față de medie; cu cât este mai mică, cu atât datele se strâng mai aproape de medie. Prima variantă descrie media, a doua mediana, iar ultima modul — toate sunt valori care reprezintă datele printr-un singur număr, fără a exprima împrăștierea.

Coeficientul de corelație ia valori între −1 și +1; cu cât este mai aproape de −1, cu atât corelația negativă — unul crește, celălalt scade — este mai puternică. Prima variantă descrie valorile apropiate de 0, a doua pe cele apropiate de +1, cu semn invers. A treia este greșită: oricât de puternică ar fi corelația, relația cauză-efect nu este garantată.

Analiza de regresie deduce, prin potrivire pe date reale, o formulă care determină valoarea unei variabile din valoarea alteia — de exemplu prognozarea vânzărilor din cheltuielile de publicitate. A doua variantă descrie clusterizarea, a treia analiza coșului de cumpărături (analiza asocierilor), iar a patra sondajul pe eșantion — niciuna nu determină o formulă de prognoză.

Nano (n) este prefixul care reprezintă 10^-9. 10^-3 este mili (m), 10^-6 este micro (μ), iar 10^-12 este pico (p). Spre valori mici, ordinea este mili, micro, nano, pico, fiecare de 1000 de ori mai mic decât precedentul.

Cifra de la a doua zecimală este 6; fiind cel puțin 5, prima zecimală se majorează cu 1, rezultând 37,5. 37,4 este valoarea obținută prin trunchierea celei de-a doua zecimale, 37,46 prin rotunjirea celei de-a treia zecimale, iar 38,0 prin rotunjirea în sus a primei zecimale — niciuna nu aplică rotunjirea cerută la poziția cerută. Rotunjind prima zecimală s-ar obține 37.

UTF-8 este schema de codificare care reprezintă caracterele Unicode pe lungime variabilă de 1–4 octeți; literele și cifrele ocupă 1 octet, ca în ASCII, compatibilitatea fiind ridicată, și este cea mai răspândită pe web. Prima variantă descrie ASCII, a treia se apropie de codurile japoneze precum Shift JIS, iar ultima descrie un format de imagine, nu un cod de caractere.

ASCII este cel mai elementar cod de caractere: reprezintă pe 7 biți 128 de tipuri de litere, cifre, simboluri și caractere de control, fără a putea trata japoneza. A doua variantă descrie codurile japoneze precum Shift JIS sau EUC-JP, a treia descrie Unicode, iar ultima descrie conversia A/D (digitalizarea), fără legătură cu codurile de caractere.

Mai întâi se citește înălțimea undei la intervale fixe — eșantionarea; apoi valorile citite se înlocuiesc cu trepte numerice stabilite — cuantizarea; la sfârșit numerele se transformă în șiruri de biți 0 și 1 — codificarea. Celelalte variante inversează această ordine: nu se poate împărți pe trepte sau codifica înainte de citirea valorilor.

Conform teoremei eșantionării, forma de undă originală poate fi reconstruită dacă eșantionarea se face la o frecvență care depășește dublul frecvenței maxime din semnal. Este necesar aproximativ dublul lui 20 kHz, adică 40 kHz. Celelalte trei valori nu ating dublul frecvenței maxime și nu permit reconstruirea corectă a formei de undă.

44100 × 16 × 2 × 60 = 84.672.000 de biți; împărțind la 8 rezultă 10.584.000 de octeți, adică aproximativ 10,6 Mocteți. Aproximativ 5,3 Mocteți este calculul pentru mono, aproximativ 2,6 Mocteți pentru cuantizare pe 8 biți și mono, iar aproximativ 21,2 Mocteți pentru cuantizare pe 32 de biți.

24 de biți înseamnă 3 octeți, deci 640 × 480 × 3 = 921.600 de octeți, aproximativ 922 Kocteți. Aproximativ 7,4 M este răspunsul dat în biți, fără conversia în octeți; aproximativ 307 K corespunde calculului cu 8 biți (1 octet) pe pixel, iar aproximativ 38 K calculului cu 1 bit pe pixel — niciunul nu respectă condițiile.

1 Goctet este 8×10^9 biți. Cu eficiența de 50%, viteza efectivă este 50×10^6 biți/s, deci 8×10^9 ÷ (50×10^6) = 160 de secunde. 80 de secunde rezultă din calculul cu eficiență 100%, fără a ține seama de eficiență, iar 320 și 640 de secunde provin din erori cumulate de conversie octeți-biți și de tratare a eficienței.

Învățarea supravegheată învață relația dintre intrare și răspunsul corect din date etichetate, pentru a putea prezice răspunsul la intrări noi. A doua variantă descrie învățarea nesupravegheată, a treia învățarea prin întărire. Ultima este o abordare cu reguli scrise manual, care nu este învățare automată din regularitățile datelor.

Învățarea nesupravegheată descoperă structura și grupările datelor fără răspunsuri corecte date; gruparea clienților (clusterizarea) este exemplul reprezentativ. Prognozarea vânzărilor și filtrarea spamului sunt învățare supravegheată, învățând din date cu răspuns corect, iar deprinderea prin recompense este învățare prin întărire — niciuna nu este nesupravegheată.

Învățarea prin întărire deprinde, prin încercări repetate, alegerea acțiunilor care maximizează suma recompenselor primite pentru acțiuni într-o anumită stare; se folosește la AI de go sau la comanda roboților. Prima variantă este învățarea supravegheată, a treia cea nesupravegheată, iar ultima este o operațiune de pregătire a datelor, nu o categorie de învățare.

Învățarea profundă suprapune adânc straturile intermediare ale rețelelor neuronale, care imită conexiunile neuronilor din creier, putând extrage automat din date trăsăturile relevante, fără ca omul să le indice. Prima variantă este analiza cu calcul tabelar, a doua raționamentul bazat pe reguli, iar ultima tehnologie de criptare — toate diferite de învățarea profundă.

Supraînvățarea este fenomenul prin care modelul memorează până și trăsăturile mărunte ale datelor de antrenament: precizia pe acestea este mare, dar pe date necunoscute scade. A doua variantă este o problemă de insuficiență a datelor, a treia descrie învățarea prin transfer, iar ultima o problemă de resurse de calcul — niciuna nu desemnează adaptarea excesivă la datele de antrenament.

Dacă precizia se măsoară pe datele folosite la antrenare, se pot obține valori mari doar pentru că modelul le-a memorat. Evaluarea pe date de test neutilizate la antrenare măsoară corect capacitatea reală pe date necunoscute. Scurtarea timpului nu este scopul principal al împărțirii, protejarea informațiilor personale se face prin alte măsuri, precum anonimizarea, iar corectarea erorilor nu se obține prin împărțire.

Antrenarea se face pe date etichetate dinainte cu răspunsul corect (categoria), deci este învățare supravegheată, iar ieșirea fiind o categorie, este o clasificare. Învățarea nesupravegheată nu primește răspunsuri corecte, iar învățarea prin întărire învață acțiuni pe bază de recompense. Ultima variantă combină învățarea prin întărire cu rețele neuronale și nu se potrivește acestui caz, care folosește etichete.

x pornește de la 1 și devine 2 la prima repetare, 4 la a doua și 8 la a treia, deci răspunsul este 8. 2 este valoarea după prima repetare, 4 după numai două repetări. 6 ar rezulta din adunarea lui 2 de 3 ori, nu din dublarea repetată.

La căutarea binară, fiecare comparație înjumătățește candidații. 2 la puterea 9 este 512 și nu acoperă 1000 de înregistrări, iar 2 la puterea 10 este 1024 și depășește 1000, deci sunt suficiente cel mult 10 comparații. 500 este aproape de numărul mediu de comparații al căutării liniare, iar 7 și 9 nu ajung ca număr de înjumătățiri.

Cazurile de la găsirea la prima comparație până la găsirea la a n-a sunt egal probabile, deci media este (1+2+…+n)÷n = (n+1)÷2 comparații. n comparații este cazul cel mai defavorabil, log2 n este reperul numărului de comparații al căutării binare, iar n÷4 este o valoare fără temei.

3 și 1 se compară și se interschimbă: 1, 3, 4, 1, 5; 3 și 4 rămân; 4 și 1 se interschimbă: 1, 3, 1, 4, 5; 4 și 5 rămân. Prima variantă este starea complet ordonată, care nu se atinge într-o singură parcurgere. Ultima este starea intermediară, doar cu prima interschimbare făcută, iar a treia este ordinea rezultată dacă parcurgerea ar fi continuat fără interschimbarea inițială dintre 3 și 1.

Stiva funcționează după principiul ultimul intrat, primul ieșit: prima extragere scoate 3, ultimul introdus. Apoi se introduce 4; extragerea următoare scoate 4, iar cea de după scoate 2 — deci ordinea este 3, 4, 2. Prima variantă se apropie de comportamentul unei cozi (primul intrat, primul ieșit), iar celelalte două încurcă ordinea extragerilor.

Lista este structura în care fiecare element deține informația de poziție (pointerul) către elementul următor; inserarea și ștergerea la mijloc se fac doar prin reînnodarea pointerilor. A doua variantă descrie tabloul, a treia stiva (ultimul intrat, primul ieșit), iar ultima coada (primul intrat, primul ieșit) — niciuna nu caracterizează lista.

JSON este formatul ușor care exprimă perechile nume-valoare între acolade și este larg folosit la schimbul de date pe web. CSV este formatul tabelar cu valori separate prin virgulă, XML este limbajul de marcare care exprimă sensul și structura datelor prin taguri proprii, iar HTML este limbajul de marcare pentru descrierea structurii paginilor web.

R este limbajul de programare specializat în analiza statistică și analiza datelor, cu metode statistice bogate și funcții de desenare a graficelor. HTML este limbaj de marcare pentru structura paginilor web, SQL este limbaj de interogare pentru operarea bazelor de date, iar XML este limbaj de marcare pentru sensul și structura datelor — niciunul nu este limbaj de programare pentru statistică.