基礎理論

1. 離散数学 ― 2進数・16進数と論理演算

コンピュータが数や文字を0と1だけで扱う仕組みと、AND・OR・NOTなどの論理演算の考え方が分かります。

私たちが普段使う数は0から9までの10種類の数字を使う10進数です。これに対しコンピュータは、電気が「流れている／流れていない」という2つの状態しか区別できないため、0と1の2種類だけを使う2進数で情報を扱います。2進数の1桁分の情報量を1ビットといい、8ビットをまとめたものを1バイトと呼びます。1バイトでは2の8乗＝256通りの状態を表せます。

2進数の各桁には右から順に1、2、4、8、16…という重み（2のべき乗）が付いています。たとえば2進数1011は、8×1＋4×0＋2×1＋1×1＝11となり、10進数の11を表します。逆に10進数を2進数に直すときは、2で割った余りを下から順に並べます。45なら45÷2＝22余り1、22÷2＝11余り0、11÷2＝5余り1、5÷2＝2余り1、2÷2＝1余り0、1÷2＝0余り1となり、余りを逆順に読んで101101です。

2進数は桁数が長くなって読みにくいため、実務では16進数がよく使われます。16進数は0〜9とA〜Fの16種類で1桁を表し、2進数のちょうど4桁分が16進数の1桁に対応します。そのため2進数11010110は、4桁ずつ区切って1101（＝D）と0110（＝6）に分け、D6と書き換えられます。この対応さえ覚えておけば、変換は暗算でできます。

負の数は「2の補数」という方法で表します。8ビットで−5を表すには、まず5（00000101）の0と1をすべて反転して11111010とし、これに1を足して11111011とします。2の補数を使うと、引き算を足し算の回路だけで計算できるという利点があります。なお最上位の1桁は符号を表し、1なら負の数です。

論理演算は、0を「偽」、1を「真」とみなして行う演算です。両方が1のときだけ1になるのが論理積（AND）、どちらか一方でも1なら1になるのが論理和（OR）、0と1を入れ替えるのが否定（NOT）、2つの値が異なるときだけ1になるのが排他的論理和（XOR）です。入力の全組合せと結果を一覧にした表を真理値表といいます。

論理演算の重要な性質にド・モルガンの法則があります。「AかつBの否定」は「Aの否定 または Bの否定」に等しく、「AまたはBの否定」は「Aの否定 かつ Bの否定」に等しい、というものです。集合で考えると分かりやすく、複数の条件を丸で表して重なりを描いた図をベン図といいます。ベン図では、集合Aと集合Bの少なくとも一方に含まれる要素の個数は、Aの個数＋Bの個数−両方に含まれる個数で求められます。

用語

ビット

コンピュータが扱う情報の最小単位で、0か1のどちらか1つを表す。nビットあれば2のn乗通りの状態を区別できる。8ビットで256通りになる。

バイト

8ビットをひとまとめにした単位。半角英数字1文字がちょうど1バイトで表せるため、データ量を数えるときの基本単位として使われる。

基数変換

同じ数を2進数・10進数・16進数など別の表し方に書き換えること。10進数から2進数へは2で割った余りを逆順に並べる方法が基本。

16進数

0〜9とA〜Fの16種類で1桁を表す数の書き方。2進数4桁がちょうど16進数1桁に対応するので、長い2進数を短く読みやすく書ける。

2の補数

負の数を2進数で表す方法。元の数の0と1をすべて反転し、1を足して作る。引き算を足し算の回路だけで処理できるのでコンピュータで広く使われる。

論理積（AND）

2つの入力がともに1のときだけ結果が1になる演算。「AかつB」に当たる。特定のビットだけ取り出す（マスクする）用途にも使われる。

論理和（OR）

2つの入力のどちらか一方でも1なら結果が1になる演算。「AまたはB」に当たる。両方0のときだけ結果が0になる。

否定（NOT）

入力が1なら0、0なら1に反転させる演算。「Aでない」に当たる。入力は1つだけである点が他の論理演算と違う。

排他的論理和（XOR）

2つの入力の値が異なるときだけ結果が1になる演算。同じ値なら0になる。同じ値で2回演算すると元に戻るため、簡易な暗号化などにも使われる。

真理値表

入力の取り得る組合せをすべて並べ、それぞれに対する演算結果を書き出した表。論理式が正しいかどうかを確かめるときに使う。

ド・モルガンの法則

「AかつBの否定」は「Aの否定またはBの否定」に等しく、「AまたはBの否定」は「Aの否定かつBの否定」に等しいという法則。条件式を書き換えるときに役立つ。

ベン図

集合を丸で描き、重なり具合で「かつ」「または」「でない」の関係を目で見て分かるようにした図。条件の重なりや漏れを整理するのに使う。

例題

出典・根拠：IPA「ITパスポート試験」シラバス Ver.6.5 大分類7：基礎理論　中分類13：基礎理論（離散数学）

2. 応用数学 ― 確率・統計と単位

確率や期待値の求め方、平均・中央値・標準偏差といった統計の読み方、K・M・Gなどの単位の意味が分かります。

確率は、あることが起こる見込みを0から1までの数で表したものです。起こり得る場合が同じ確からしさで全部でn通りあり、そのうち目的の場合がm通りなら、確率はm÷nです。たとえば大小2個のさいころを投げて目の和が7になる場合は（1,6）（2,5）（3,4）（4,3）（5,2）（6,1）の6通り、全体は6×6＝36通りなので、確率は6÷36＝6分の1です。

期待値は、金額などの値が確率に応じて平均するといくらになるかを表す数です。「値×その確率」をすべて足して求めます。たとえば100本のくじに5000円が1本、1000円が5本、残り94本がはずれ（0円）なら、期待値は（5000×1＋1000×5）÷100＝100円です。期待値は、くじや保険、投資などの損得をならして比べるときに使います。

並べ方の数え方には順列と組合せがあります。順列は順番を区別して並べる数え方で、4人を1列に並べるなら4×3×2×1＝24通りです。組合せは順番を区別せずに選ぶ数え方で、6人から2人の代表を選ぶなら（6×5）÷（2×1）＝15通りです。「並べる」なら順列、「選ぶだけ」なら組合せ、と見分けます。

データ全体の特徴を1つの値で表したものを代表値といいます。すべての値を足して個数で割った平均値、大きさ順に並べたときの真ん中の値である中央値、最も多く現れる値である最頻値の3つが基本です。10、20、20、30、120という5個のデータでは、平均値は40ですが中央値は20です。極端に大きい値（外れ値）があると平均値は引きずられるため、そのようなときは中央値の方が実感に近くなります。

データのばらつきを表すのが分散と標準偏差です。各データと平均値の差を2乗して平均したものが分散、その平方根が標準偏差です。値が大きいほどばらつきが大きいことを意味します。多くの自然現象や測定値は、平均値を中心に左右対称の釣り鐘形になる正規分布に近い形で分布します。

2つの量の関係を見るときは相関係数を使います。−1から＋1までの値をとり、＋1に近いほど一方が増えれば他方も増える正の相関、−1に近いほど一方が増えれば他方が減る負の相関、0に近いほど関係が薄いことを示します。相関があっても原因と結果の関係（因果関係）があるとは限らない点に注意が必要です。また、ある変数の値から別の変数の値を予測する式を求める手法を回帰分析といいます。

数値を扱うときは丸めと単位にも注意します。四捨五入は4以下を切り捨て5以上を切り上げる方法、切上げは端数があれば必ず上げる方法、切捨ては端数を捨てる方法です。単位に付ける接頭語は、大きい方がK（キロ、10の3乗）、M（メガ、10の6乗）、G（ギガ、10の9乗）、T（テラ、10の12乗）、小さい方がm（ミリ、10のマイナス3乗）、μ（マイクロ、10のマイナス6乗）、n（ナノ、10のマイナス9乗）、p（ピコ、10のマイナス12乗）です。

用語

確率

あることが起こる見込みを0〜1の数で表したもの。同じ確からしさで起こる全n通りのうち目的がm通りなら m÷n で求める。1に近いほど起こりやすい。

期待値

値とその確率を掛けたものをすべて足した平均的な値。くじの当たり金額のように、何度も繰り返したときに1回あたりいくらになるかを表す。

順列

順番を区別して並べる場合の数。異なるn個からr個を取り出して並べる数え方で、4人を1列に並べるなら4×3×2×1＝24通りとなる。

組合せ

順番を区別せずに選ぶ場合の数。6人から2人を選ぶなら（6×5）÷（2×1）＝15通り。同じ顔ぶれなら並び順が違っても1通りと数える。

平均値

すべての値の合計を個数で割った代表値。計算しやすい反面、極端に大きい値や小さい値があると、そちらに引っ張られてしまう。

中央値

データを大きさ順に並べたときのちょうど真ん中の値。個数が偶数のときは中央2つの平均をとる。外れ値の影響を受けにくい。

最頻値

データの中で最も多く現れる値。アンケートの回答のように数値でないデータにも使える代表値。

分散

各データと平均値の差を2乗して平均した値。ばらつきの大きさを表し、値が大きいほどデータが平均から離れて散らばっている。

標準偏差

分散の平方根。元のデータと同じ単位でばらつきを表せるので実務で使いやすい。値が小さいほどデータが平均値の近くに集まっている。

正規分布

平均値を中心に左右対称の釣り鐘形になる分布。身長や測定誤差など多くのデータがこの形に近くなり、統計的な推定の基礎になっている。

相関係数

2つの量の関係の強さを−1〜＋1で表した値。＋1に近いと一方が増えれば他方も増え、−1に近いと一方が増えれば他方は減る。0に近いと関係が薄い。

回帰分析

ある変数の値から別の変数の値を予測する式（回帰式）を、実データに最もよく当てはまるように求める手法。売上予測などに使われる。

例題

出典・根拠：IPA「ITパスポート試験」シラバス Ver.6.5 大分類7：基礎理論　中分類13：基礎理論（応用数学）

3. 情報に関する理論 ― 文字コードとデジタル化

文字が数値として扱われる仕組みと、音や画像をデジタルデータに変える手順・データ量の計算ができるようになります。

コンピュータは0と1しか扱えないため、文字にも1つずつ番号を割り当てて数値として記憶します。この文字と番号の対応表を文字コードといいます。代表的なものにASCII、シフトJIS、EUC-JP、Unicode、UTF-8があります。送る側と受け取る側で違う文字コードを使うと、文字が正しく表示されない文字化けが起こります。

ASCIIは7ビットで英数字や記号など128種類を表すもっとも基本的な文字コードで、日本語は表せません。シフトJISは日本語の漢字やかなを表すために日本で作られた文字コードです。Unicodeは世界中の文字に共通の番号を割り当てることを目指した文字コード体系で、その番号を実際のバイト列にする代表的な方式がUTF-8です。UTF-8は1文字を1〜4バイトの可変長で表し、英数字はASCIIと同じ1バイトになるので互換性が高く、Webで最も広く使われています。日本語の多くの文字はUTF-8では1文字3バイトになります。

音声や画像のように連続的に変化するアナログの情報をデジタルデータに変えることをデジタル化（A/D変換）といいます。手順は、標本化（サンプリング）→量子化→符号化の3段階です。標本化は一定の時間間隔で波の高さを読み取ること、量子化は読み取った値を決められた段階の数値に置き換えること、符号化はその数値を2進数のビット列にすることです。

1秒間に標本化する回数をサンプリング周波数といい、単位はHz（ヘルツ）です。標本化定理により、元の信号に含まれる最高周波数の2倍を超える周波数で標本化すれば、元の波形を復元できます。20kHzまでの音を記録するには最低40kHzのサンプリング周波数が必要になる、という形で出題されます。量子化ビット数を大きくするほど音の強弱を細かく表せますが、その分データ量は増えます。

デジタル化されたデータの量は掛け算で求められます。音声なら「サンプリング周波数×量子化ビット数×チャネル数×秒数」でビット数が出るので、8で割ればバイト数になります。画像なら「横のピクセル数×縦のピクセル数×1ピクセルあたりのビット数」です。1ピクセルを赤・緑・青それぞれ8ビットで表す24ビットフルカラーなら、1ピクセルは3バイトです。

情報量の考え方も大切です。nビットあれば2のn乗通りの状態を区別できるので、区別したい種類の数を上回る最小のビット数が必要なビット数になります。50種類の記号を区別するなら、2の5乗＝32では足りず、2の6乗＝64で足りるので6ビット必要です。

用語

文字コード

文字1つ1つに番号を割り当てた対応表。コンピュータは文字そのものではなくこの番号を記憶している。送受信で種類が食い違うと文字化けが起こる。

ASCII

7ビットで英数字・記号など128種類の文字を表す、最も基本的な文字コード。アメリカで作られたもので、日本語の漢字やかなは表せない。

シフトJIS

日本語の漢字・ひらがな・カタカナを表すために日本で作られた文字コード。Windowsの日本語環境で長く使われてきた。

Unicode

世界中の文字に世界共通の番号を割り当てることを目指した文字コード体系。日本語・英語・中国語などを1つの文書に混ぜて扱える。

UTF-8

Unicodeの番号を実際のバイト列に表す方式の一つ。1文字を1〜4バイトの可変長で表し、英数字はASCIIと同じ1バイトになる。Webで最も広く使われる。

標本化（サンプリング）

アナログの波を一定の時間間隔で区切り、その時点の値を読み取ること。1秒間に読み取る回数をサンプリング周波数といい、単位はHzで表す。

量子化

標本化で読み取った値を、あらかじめ決めた段階の数値に当てはめること。段階の細かさを表すのが量子化ビット数で、大きいほど原音に忠実になる。

符号化

量子化した数値を0と1のビット列に置き換えること。デジタル化の最後の段階で、ここで初めてコンピュータが扱えるデータになる。

標本化定理

元の信号に含まれる最高周波数の2倍を超える周波数で標本化すれば元の波形を復元できる、という定理。必要なサンプリング周波数を決める根拠になる。

画素（ピクセル）

デジタル画像を構成する最小の点。横と縦の画素数が多いほど細かい画像になる。1画素の色を何ビットで表すかによってデータ量が変わる。

例題

出典・根拠：IPA「ITパスポート試験」シラバス Ver.6.5 大分類7：基礎理論　中分類13：基礎理論（情報に関する理論）

4. AIと機械学習の基礎

機械学習の3つの学習方法の違いと、ディープラーニング・過学習など試験に出る用語が説明できるようになります。

AI（人工知能）は、人が行うような認識・判断・推論をコンピュータに行わせる技術の総称です。その中心にあるのが機械学習で、人がルールを1つ1つ書くのではなく、大量のデータからコンピュータ自身に規則性を見つけさせる方法です。機械学習は学習のさせ方によって、教師あり学習・教師なし学習・強化学習の3つに大きく分けられます。

教師あり学習は、入力データと正解（ラベル）の組を大量に与えて、入力から正解を言い当てられるようにする方法です。過去のメールに「迷惑メール」「通常メール」の印を付けて学習させ、新着メールを判定させるのが典型例です。結果が「はい／いいえ」や「A・B・C」のような区分なら分類、売上金額や気温のような連続した数値なら回帰と呼びます。

教師なし学習は、正解を与えずにデータそのものの構造や傾向を見つけさせる方法です。購買履歴から似た傾向の顧客を自動的にグループ分けするクラスタリングが代表例です。正解がないので「何が正しいか」ではなく「どんなまとまりがあるか」を発見するのに向いています。

強化学習は、ある状態で取った行動に対して報酬（良い結果ならプラス、悪い結果ならマイナス）を与え、試行錯誤を繰り返しながら報酬の合計が最大になる行動の選び方を学ばせる方法です。囲碁や将棋のAI、ロボットの歩行制御、自動運転などに使われます。

ニューラルネットワークは、人の脳の神経細胞のつながりをまねた仕組みで、入力層・中間層・出力層からなります。この中間層を何層も深く重ねたものがディープラーニング（深層学習）です。従来は人が指定していた「どこに注目すべきか」という特徴を、大量のデータから自動的に取り出せる点が大きな特徴で、画像認識や音声認識、生成AIの土台になっています。

機械学習では、手元のデータを訓練データ（学習用）とテストデータ（評価用）に分けて使います。学習に使っていないテストデータで精度を測ることで、未知のデータにどれだけ通用するかを確かめられるからです。訓練データに合わせ込みすぎて、訓練データでは高い精度なのに未知のデータでは精度が落ちてしまう現象を過学習（オーバーフィッティング）といいます。また、学習データに偏りがあると判断にも偏り（バイアス）が生じるため、データの選び方には注意が必要です。

用語

AI（人工知能）

人が行うような認識・判断・推論をコンピュータに行わせる技術の総称。現在の中心は、データから規則性を学ばせる機械学習である。

機械学習

人がルールを書くのではなく、大量のデータからコンピュータ自身に規則性を見つけさせる技術。学習のさせ方で教師あり・教師なし・強化の3つに分かれる。

教師あり学習

入力データと正解ラベルの組を与えて、入力から正解を予測できるようにする学習方法。迷惑メール判定や売上予測に使われる。

教師なし学習

正解を与えず、データ自体の構造や似たもの同士のまとまりを見つけさせる学習方法。顧客のグループ分け（クラスタリング）が代表例。

強化学習

行動の結果に報酬を与え、報酬の合計が最大になる行動の選び方を試行錯誤で学ばせる学習方法。囲碁AIやロボット制御、自動運転に使われる。

ニューラルネットワーク

人の脳の神経細胞のつながりをまねた仕組み。入力層・中間層・出力層があり、つながりの重みを調整することで学習を行う。

ディープラーニング（深層学習）

ニューラルネットワークの中間層を何層も深く重ねた手法。注目すべき特徴を人が指定しなくてもデータから自動的に取り出せる点が大きな特徴。

過学習（オーバーフィッティング）

訓練データに合わせ込みすぎて、訓練データでは高精度なのに未知のデータでは精度が落ちてしまう現象。データを増やす、モデルを簡単にするなどで抑える。

訓練データとテストデータ

手元のデータを学習用と評価用に分けたもの。学習に使っていないテストデータで測ることで、未知のデータへの実力を正しく評価できる。

クラスタリング

正解を与えずに、似た特徴を持つデータどうしを自動でグループにまとめる手法。教師なし学習の代表例で、顧客分析などに使われる。

例題

出典・根拠：IPA「ITパスポート試験」シラバス Ver.6.5 大分類7：基礎理論　中分類13：基礎理論（情報に関する理論・AI）

5. アルゴリズムとプログラミング

処理の手順を表す流れ図の読み方、探索・整列などの基本アルゴリズム、データ構造とデータ形式の違いが分かります。

アルゴリズムとは、問題を解くための手順を、誰が実行しても同じ結果になるように順序立てて示したものです。アルゴリズムを図で表したものが流れ図（フローチャート）で、処理は長方形、判断（条件分岐）はひし形、開始と終了は角丸の図形、データの入出力は平行四辺形で表し、矢印で流れをつなぎます。アルゴリズムは、順次（上から順に実行）、選択（条件で分かれる）、繰返し（条件が成り立つ間続ける）の3つの基本構造の組合せで作られます。

プログラムでは、値を入れておく箱を変数といい、変数に値を入れることを代入といいます。同じ種類のデータを番号（添字）で並べて管理する仕組みが配列で、たとえば配列の3番目の要素、というように位置を指定して直接読み書きできます。よく使う処理をひとまとまりにして名前を付け、必要なときに呼び出せるようにしたものが関数（手続き）で、同じ処理を何度も書かずに済み、修正も1か所で済みます。

探索は目的のデータを探し出す処理です。線形探索は先頭から1件ずつ順に照合する方法で、事前の準備は要りませんがデータが多いと時間がかかります。n件の中に必ず目的のデータがある場合、平均の比較回数は（n＋1）÷2回です。二分探索は、あらかじめ整列されたデータの真ん中と比べて、探す範囲を毎回半分に狭めていく方法で、比較のたびに候補が半分になるため非常に速くなります。1000件なら最大10回程度の比較で見つかります。ただし、データが整列済みであることが前提です。

整列（ソート）はデータを大小の順に並べ替える処理です。バブルソートは隣り合う要素を比較して順序が逆なら交換する処理を繰り返す方法で、仕組みが単純です。ほかに、未整列部分から最小値を選んで先頭に置く選択ソート、要素を既に整列した部分の適切な位置に挿入する挿入ソートなどがあります。

データ構造にはそれぞれ得意な使い方があります。スタックは最後に入れたデータを最初に取り出す後入れ先出し（LIFO）の構造で、入れる操作をプッシュ、取り出す操作をポップといいます。キューは最初に入れたデータを最初に取り出す先入れ先出し（FIFO）の構造で、順番待ちの行列と同じ考え方です。リストは各要素が次の要素の位置情報を持つ構造で、途中への挿入や削除を要素の移動なしに行えます。木構造は要素が枝分かれしてつながる構造で、組織図やフォルダの階層のように親子関係のあるデータを表すのに適しています。

プログラム言語には、読みやすく機械学習やデータ分析でよく使われるPython、業務システムで広く使われるJava、OSや組込み機器など機械に近い制御に強いC、Webページに動きを付けるJavaScript、統計解析やグラフ描画に強いRなどがあります。一方、文書の構造や見た目をタグで指示する言語をマークアップ言語といい、Webページを記述するHTML、利用者が独自にタグを定義してデータの意味や構造を表せるXMLがあります。データをやり取りする形式としては、値をカンマで区切って表形式のデータを表すCSV、項目名と値の組を波括弧で囲んで入れ子構造を表せるJSON、タグで構造を表すXMLがよく使われます。

用語

アルゴリズム

問題を解くための手順を、誰が実行しても同じ結果になるように順序立てて示したもの。同じ結果でも手順の良し悪しで処理時間が大きく変わる。

流れ図（フローチャート）

処理の手順を図で表したもの。処理は長方形、条件分岐はひし形、開始・終了は角丸の図形で表し、矢印で流れをつなぐ。

変数

値を入れておく名前付きの箱。プログラムの途中で中身を入れ替えられる。値を入れる操作を代入という。

配列

同じ種類のデータを番号（添字）で並べて管理する仕組み。位置を指定して直接読み書きできるが、途中への挿入・削除は後ろの要素をずらす必要がある。

関数（手続き）

よく使う処理をひとまとまりにして名前を付け、必要なときに呼び出せるようにしたもの。同じ処理を何度も書かずに済み、修正も1か所で済む。

線形探索

先頭から1件ずつ順に照合して目的のデータを探す方法。整列していなくても使えるが、n件なら平均で（n＋1）÷2回の比較が必要になる。

二分探索

整列済みのデータの真ん中と比較し、探す範囲を毎回半分に狭めていく探索方法。非常に速いが、データが整列済みであることが前提となる。

バブルソート

隣り合う要素を比較し順序が逆なら交換する処理を繰り返して並べ替える方法。仕組みが単純で分かりやすいが、件数が多いと時間がかかる。

スタック

最後に入れたデータを最初に取り出す後入れ先出し（LIFO）のデータ構造。入れる操作をプッシュ、取り出す操作をポップという。

キュー

最初に入れたデータを最初に取り出す先入れ先出し（FIFO）のデータ構造。順番待ちの行列と同じ考え方で、処理の待ち行列などに使う。

木構造

要素が枝分かれしてつながるデータ構造。フォルダの階層や組織図のように、親子関係のあるデータを表すのに適している。

マークアップ言語

文書の構造や見た目をタグで指示する言語。Webページを表すHTML、独自のタグを定義してデータの意味を表せるXMLが代表例。

JSON

項目名と値の組を波括弧で囲み、入れ子構造も表せる軽量なデータ記述形式。Webアプリケーションのデータ交換で広く使われる。

CSV

値をカンマで区切り、改行で1行分を表す表形式のデータ形式。表計算ソフトやデータベースとのやり取りに使われる。

例題

出典・根拠：IPA「ITパスポート試験」シラバス Ver.6.5 大分類7：基礎理論　中分類14：アルゴリズムとプログラミング

演習：この章の問題を解く

ランダム出題の演習ツールです（JavaScript が有効な場合に動きます）。上の「確認問題」はそのままでもすべて読めます。